Kapitola 5 - Cyklické grupy

Teorie

Definice 21

Grupu \((G,\cdot)\) nazveme cyklickou, jestliže existuje takový prvek \(a\in G\), pro který platí \(G=[a]\). Prvek \(a\) nazveme generátor grupy \(G\).

Definice 22

V grupě \((G,\cdot)\) definujeme pro každé \(n\in\mathbb{N}\) a pro každý prvek \(a\in G\) grupovou mocninu \(a^n\) následovně:

\[\begin{split}a^n=\left \lbrace \begin{array}{ll} (a\cdot a\cdot \ldots\cdot a)_{n\textrm{-krát}} & \textrm{jestliže } n=k\in\mathbb{Z}^{{}+{}},\\ e & \textrm{jestliže } n=0,\\ (a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot \ldots\cdot a^{-1})_{n\textrm{-krát}} & \textrm{jestliže } n=-k\in\mathbb{Z}^{{}+{}}.\end{array} \right .\end{split}\]

Věta 18

Nechť \((G,\cdot)\) je grupa, \(a, b \in G\) a nechť \(m, n \in \mathbb{Z}\). Potom

a) \(a^{n+m}=a^n \cdot a^m\),

b) \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\),

c) jestliže \(a\cdot b = b\cdot a\), potom \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\).

Poznámka 4

Pokud je grupa označovaná aditivně, tak míst značení \(a^n\) často používáme označení \(n\times a\). Rovnosti z předchozí věty potom vypadají následovně:

a) \((n+m)\times a=(n\times a)+(m\times a)\),

b) \(m\times (n\times a)=(m\cdot n)\times a\),

c) jestliže \(a\cdot b = b\cdot a\), pak \(n\times(a\cdot b)=(n\times a)\cdot(n\times b)\).

Věta 19

Grupa \(G\) je cyklická tehdy a jen tehdy, když se skládá z mocnin některého ze svých prvků (generátoru).

Definice 23

Nechť \((G,\cdot)\) je libovolná grupa a nechť \(a\in G\). Pokud existuje nejmenší celé kladné číslo \(k\) pro které platí \(a^k=e\), říkáme, že řád prvku \(a\) je \(k\) a píšeme \(r(a)=k\). Pokud takové \(k\) neexistuje, říkáme, že řád prvku \(a\) je nekonečno a píšeme \(r(a)=\infty\) (někdy se také uvádí, že řád prvku \(a\) je nula a píšeme \(r(a)=0\)). Řádem grupy \(G\) nazýváme kardinální číslo jejího nosiče, \(|G|\), tj. v konečném důsledku pod řádem grupy rozumíme počet prvků grupy.

Věta 20

Řád konečné cyklické grupy je roven řádu libovolného jejícho generátoru.

Věta 21

Nechť \((G,\cdot)\) je cyklická grupa s generátorem \(a\).

a) Pokud má generátor \(a\) konečný řád \(n\), pak grupa \((G,\cdot)\) je izomorvní s grupou \((Z_n, \oplus)\).

b) Pokud má generátor \(a\) konečný řád \(\infty\), pak grupa \((G,\cdot)\) je izomorvní s grupou \((Z, +)\).

Věta 22

Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.