Domácí úkol 5 (23. 10. 2023)

Příklad 1

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((A,\circ)\), kde \(A=\lbrace (a, b): a, b\in \mathbb{R}, a \neq 0\rbrace\) a \(\forall (a,b), (c,d)\in A:\) \((a,b)\circ(c,d)=(ac,bc+d) \).

Zobrazit výsledek

Jedná se o grupu.

Příklad 2

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((M , +)\), přičemž \(M\) je množina všech matic tvaru \(\left( \begin{array}{cc} x & y\\2 y& x\end{array} \right)\), kde \(x, y\in\mathbb{R}\) a operace \(+\) je sčítání matic.

Zobrazit výsledek

Jedná se o Abelovskou grupu.

Příklad 3

Pozor: tento příklad je náročnější, takže se počítá za dva (tj. pokud si nahrazujete půl cvičení, můžete spočítat tento příklad nebo dva předchozí).

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{Z}^3 , +)\), kde \(\forall (a,b, c), (d,e,f)\in \mathbb{Z}^3\) platí:

\[\begin{split}(a, b, c)+ (d, e, f)= \left \lbrace \begin{array}{cc} (a+d, b+e, c+f) & \textrm{pro } c \textrm{ sudé}\\(a+e, b+d, c+f) & \textrm{pro } c \textrm{ liché}\end{array}\right .\end{split}\]

Rada: je třeba vzít v potaz různé kombinace sudosti/lichosti posledního členu trojice.

Zobrazit výsledek

Jedná se o grupu.