Cvičení 6 (13. 11. 2023)#
Příklad 1#
Mějme grupoid \((\mathbb{Z},+)\). Ukažte, zda následující množiny tvoří nebo netvoří podgrupoid tohoto grupoidu:
\(A=\lbrace 2 \rbrace\),
\(B=\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z} \rbrace\).
Zobrazit řešení
Nejprve je třeba si vyjasnit, co je to vlastně podgrupoid. Toto je vysvětleno v definici 5, která se nachází v kapitole 2. Definice zjednodušeně říká, že pokud mám nějaký grupoid, například \((A,*)\), pak grupoid \((B,*)\) bude jeho podgrupoidem, jestliže platí dvě podmínky:
Množina \(B\) je podmnožinou množiny \(A\),
operace \(*\) je zúžením operace z prvního grupoidu na nový grupoid - jinak řečeno platí, že \(\forall a,b \in B: a*b\in B\). Tj. pokud vezmu libovolné dva prvky z množiny \(B\) a aplikuji na ně operaci \(*\), musím obdržet opět prvek z množiny \(B\) (jinak by dvojice \((B,*)\) netvořila grupoid).
Naším úkolem je tedy ověřit, jestli nová množina je podmnožinou množiny \(\mathbb{Z}\) a dále, jestli je operace \(*\) na této nové množine uzavřená:
1. \(A=\lbrace 2 \rbrace\)
Nejprve se zaměříme na samotnou množinu \(A\). Ta obsahuje pouze jeden prvek, kterým je číslo 2. Je zřejmé, že tato hodnota je podmnožinou množiny \(\mathbb{Z}\).
Ještě je třeba ověřit, zda je operace \(+\) na množině \(A\) uzavřená. To ale zjevně není pravda, protože \(2+2=4\) a \(4\) neleží v množině \(A\). Je tedy zřejmé, že \((A,+)\) není grupoid a nemůže být tedy ani podgrupoidem.
2. \(B=\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z} \rbrace\)
Budeme postupovat analogicky. Z definice množiny \(B\) plyne, že obsahuje dvojnásobky celých čísel - obsahuje tedy všechna sudá čísla. A sudá čísla jsou podmnožinou celých čísel.
Nyní je třeba ověřit, že operace \(+\) je na množině \(B\) uzavřená. Toto je pravda, protože součtem dvou sudých čísel je opět sudé číslo.
Vysvětlení: mějme dvě sudá čísla \(a,b\). Protože jsou sudá, je možné je zapsat následovně (viz definice množiny \(B\)): \(a=2\cdot m, m\in \mathbb{Z}\) a \(b=2\cdot n, n\in \mathbb{Z}\). Potom \(a+b=2\cdot m + 2\cdot n=2\cdot (m+n)\) kde \(m+n \in \mathbb{Z}\), tj. opět dostáváme sudé číslo.
Ukázali jsme tedy, že grupoid \((B,+)\) je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{Z},+)\).
Příklad 2#
Mějme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\). Ukažte, zda následující množiny tvoří nebo netvoří podgrupoid tohoto grupoidu:
\(C=\lbrace 0, 1 \rbrace\),
\(D=\lbrace 1, 2 \rbrace\),
\(E=\lbrace -1, 0 \rbrace\),
\(F=\lbrace -1, 1 \rbrace\),
\(G=\lbrace -1, 0, 1 \rbrace\).
Zobrazit řešení
U tohoto příkladu budeme postupovat analogicky, jako v předchozím příkladě Je zřejmé, že všechny množiny jsou podmnožinou \(\mathbb{R}\). Stačí tedy ověřit uzavřenost operací, s čímž nám pomůže Cayleyho tabulka:
1. \(C=\lbrace 0, 1 \rbrace\)
Sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Jak je vidět, operace násobení je na množině \(C\) uzavřená a \((C,\cdot)\) je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
**2. \(D=\lbrace 1, 2 \rbrace\),
Sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(1\) |
\(2\) |
|---|---|---|
\(1\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(2\) |
\(2\) |
\(4\) |
Jak je vidět, operace násobení není na množině \(D\) uzavřená, protože \(2\cdot2=4\) a tato hodnota neleží v \(D\).
Můžeme tedy říct, že \((D,\cdot)\) netvoří grupoid (a nemůže být ani podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\)).
**3. \(E=\lbrace -1, 0 \rbrace\)
Sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
Jak je vidět, operace násobení není na množině \(E\) uzavřená, protože \(-1\cdot -1=1\) a tato hodnota neleží v \(E\).
Můžeme tedy říct, že \((E,\cdot)\) netvoří grupoid (a nemůže být ani podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\)).
**4. \(F=\lbrace -1, 1 \rbrace\)
Sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(1\) |
|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(1\) |
Jak je vidět, operace násobení je na množině \(F\) uzavřená a \((F,\cdot)\) je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
**5. \(G=\lbrace -1, 0, 1 \rbrace\).
Sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Jak je vidět, operace násobení je na množině \(G\) uzavřená a \((G,\cdot)\) je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Příklad 3#
Mějme grupoid \((\mathbb{Z},\cdot)\). Vyšetřete komutativitu, asociativitu a najděte neutrální prvek tohoto grupoidu a ukažte, že následující podgrupoidy mají stejné vlastnosti:
\((\lbrace 1\rbrace,\cdot)\),
\((\lbrace -1, 1\rbrace,\cdot)\),
\((\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\),
\((\lbrace 0 \rbrace,\cdot)\).
Zobrazit řešení
Zde je dobré se nejprve podívat na větu 7 v kapitole 2. Tato věta říká, že pokud je grupoid asociativní (respektive komutativní), pak bude asociativní (respektive komutativní) i každý jeho podgrupoid. Navíc pokud v grupoidu existuje neutrální prvek, bude tento prvek neutrálním prvkem v každém podgrupoidu tohoto grupoid, který tento neutrální prvek obsahuje. V tomto příkladu si tedy ukážeme, že tato věta platí.
Nejprve vyšetřeme grupoid \((\mathbb{Z},\cdot)\). Víme, že operace násobení je na množině celých čísel komutativní (nezáleží nám na pořádí prvků), asociativní (nezáleží nám na uzávorkování) a navíc zde existuje neutrální prvek \(e=1\). Nyní se zaměřme na jednotlivé podgrupoidy a podívejme se, že věta 7 platí:
1. \((\lbrace 1\rbrace,\cdot)\)
Je zřejmé, že operace násobení je na množině obsahující pouze prvek \(1\) uzavřená (protože \(1\cdot1=1\)) a \((\lbrace 1\rbrace,\cdot)\) je tedy podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{Z},\cdot)\). Nyní se zaměřme na jednotlivé vlastnosti:
komutativita
Je zřejmé, že operace násobení je na množině \(\lbrace 1 \rbrace\) komutativní, protože můžeme násobit pouze jedničku samu se sebou.
asociativita
Analogicky jako u komutatitivity je zřejmé, že násobení na je na množině \(\lbrace 1 \rbrace\) asociativní.
neutrální prvek
Je zřejmé, že hodnota \(1\) je neutrálním prvkem, protože svou hodnotu nemění.
Jak je vidět, tak výsledky jsou ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.
2. \((\lbrace -1, 1\rbrace,\cdot)\)
Tentokrát si vypomůžeme Cayleyho tabulkou:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(1\) |
|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(1\) |
Z tabulky vidíme, že operace násobení je na množině \(\lbrace -1, 1\rbrace\) uzavřená, jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{Z},\cdot)\).
komutativita
Tabulka je symetrická a náš podgrupoid je tedy komutativní.
asociativita
Asociativitu z tabulky zjistit přímo nemůžeme, ale víme, že operace násobení je komutativní.
neutrální prvek
Z tabulky je zřejmé, že neutrálním prvkem je \(1\), protože řádek (sloupec) u jedničky kopíruje první řádek (sloupec) tabulky.
Jak je vidět, tak výsledky jsou opět ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.
3. \((\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\)
Opět si vypomůžeme Cayleyho tabulkou:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Z tabulky vidíme, že operace násobení je na množině \(\lbrace -1, 0, 1\rbrace\) uzavřená, jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{Z},\cdot)\).
komutativita
Tabulka je symetrická a náš podgrupoid je tedy komutativní.
asociativita
Asociativitu z tabulky zjistit přímo nemůžeme, ale víme, že operace násobení je komutativní.
neutrální prvek
Z tabulky je zřejmé, že neutrálním prvkem je \(1\), protože řádek (sloupec) u jedničky kopíruje první řádek (sloupec) tabulky.
Jak je vidět, tak výsledky jsou opět ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.
4. \((\lbrace 0 \rbrace,\cdot)\).
Je zřejmé, že operace násobení je na množině obsahující pouze prvek \(0\) uzavřená (protože \(0\cdot0=0\)) a \((\lbrace 0\rbrace,\cdot)\) je tedy podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{Z},\cdot)\). Nyní se zaměřme na jednotlivé vlastnosti:
komutativita
Je zřejmé, že operace násobení je na množině \(\lbrace 0 \rbrace\) komutativní, protože můžeme násobit pouze nulu samu se sebou.
asociativita
Analogicky jako u komutatitivity je zřejmé, že násobení na je na množině \(\lbrace 0 \rbrace\) asociativní.
neutrální prvek
Je zřejmé, že hodnota \(0\) je neutrálním prvkem, protože svou hodnotu nemění při násobením libovolným prvkem z množiny \(\lbrace 0 \rbrace\).
Náš podgrupoid je komutativní a asociativní. Co se týká neutrálního prvku, tak ten existuje, ale liší se od neutrálního prvku z grupoidu \((\mathbb{Z},\cdot)\)! Toto ovšem není chyba - věta 7 totiž říká, že neutrální prvek z původního grupoidu je neutrálním prvkem podgrupoidu, pokud tento podgrupoid tento neutrální prvek obsahuje. V našem případě ale množina \(\lbrace 0 \rbrace\) neobsahuje neutrální prvek z původního grupoidu, takže věta 7 zde neplatí a neutrální prvek zde může ale nemusí existovat (a pokud existuje, jeho hodnota s emusí lišit od hodnoty neutrální prvku původního grupoidu).
Příklad 4#
Mějme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\) a jeho 3 podgrupoidy:
\(B_1=(\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\),
\(B_2=(\lbrace 0, 1\rbrace,\cdot)\),
\(B_3=(\mathbb{Z},\cdot)\).
Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Zobrazit řešení
Zde je třeba se nejprve podívat na lemma 1 v kapitole 2. Toto lemma zjednodušeně říká, že pokud máme grupoid a k němu několik jeho podgrupoidů, pak pokud udělám průnik všech množin z těchto podgrupoidů a tento průnik bude neprázdný, potom tato nově vzniklá množina spolu se zúženám operace z původního grupoidu na nově vzniklou množinu bude opět podgrupoidem našeho grupoidu. Pojďmě si to ukázat na příkladu.
Je zřejmé, že \(\mathbb{R}\) spolu s operací násobení tvoří grupoid (násobením dvou reálných čísel obdržím opět reálné číslo). Nyní ověříme, že uvedené tři grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\):
1. \(B_1=(\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\)
Množina \(\lbrace -1, 0, 1\rbrace\) je zjevně podmnožinou \(\mathbb{R}\) a z Cayleyho tabulky vidíme, že je oprace nasobení na této množině uzavřená:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
2. \(B_2=(\lbrace 0, 1\rbrace,\cdot)\)
Množina \(\lbrace 0, 1\rbrace\) je zjevně podmnožinou \(\mathbb{R}\) a z Cayleyho tabulky vidíme, že je oprace nasobení na této množině uzavřená:
\(\cdot\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
3. \(B_3=(\mathbb{Z},\cdot)\)
Množina \(\mathbb{Z}\) je zjevně podmnožinou \(\mathbb{R}\) a operace násobení je na množine \(\mathbb{Z}\) uzavřená.
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Ověřili jsme tedy, že všechny tři grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\). Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid \((\mathbb{R},\cdot)\):
Průnikem množin \(\lbrace -1, 0, 1\rbrace\), \(\lbrace 0, 1\rbrace\) a \(\mathbb{Z}\) obdržíme množinu \(\lbrace 0, 1\rbrace\). Lemma 1 říká, že tato množina spolu se zúžením operace násobení tvoří podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\). Toto je zjevně pravda, protože takto vzniklý podgrupoid \((\lbrace 0,1\rbrace , \cdot)\) je podgrupoid \(B_2\) u kterého jsme již dokázali, že je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Příklad 5#
Mějme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\) a jeho podgrupoidy:
\(C_1=(\mathbb{N},\cdot)\).
\(C_2=(\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\).
Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Zobrazit řešení
Z minulého příkladu již víme, že \((\mathbb{R},\cdot)\) je grupoid. Pojďme opět ověřit, že uvedené dva grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\):
1. \(C_1=(\mathbb{N},\cdot)\)
Operace násobení je na množině přirozených čísel uzavřená (násobením dvou přirozených čísel obdržíme opět přirozené číslo).
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
2. \(B_1=(\lbrace -1, 0, 1\rbrace,\cdot)\)
Jedná se o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\), jak bylo ukázáno v předchozím příkladě.
Ověřili jsme tedy, že oba grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\). Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid \((\mathbb{R},\cdot)\):
Průnikem množin \(\mathbb{N}\) a \(\lbrace -1, 0, 1\rbrace\) obdržíme množinu \(\lbrace 1\rbrace\). Lemma 1 říká, že tato množina spolu se zúžením operace násobení tvoří podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\). Toto je zjevně pravda, protože množina \(\lbrace 1 \rbrace\) je podmnožinou množiny \(\mathbb{R}\) a operace násobení je uzavřená vzhledem k množině \(\lbrace 1\rbrace\). Grupoid \((\lbrace 1\rbrace , \cdot)\) je tedy podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\) (povšimněme si, že narozdíl od předchozího příkladu jsme obdrželi „nový“ podgrupoid).
Příklad 6#
Mějme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\) a jeho podgrupoidy:
\(D_1=\left(\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace,\cdot\right)\),
\(D_2=\left(\lbrace 3\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace,\cdot\right)\).
Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Zobrazit řešení
Z minulého příkladu již víme, že \((\mathbb{R},\cdot)\) je grupoid. Pojďme opět ověřit, že uvedené dva grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\):
1. \(D_1=\left(\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace,\cdot\right)\)
S podobným grupoidem jsme se již setkali. Množina \(\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\) obsahuje všechna sudá čísla respektive všechna čísla dělitelná dvojkou beze zbytku.
Tato množina je podmnožinou reálných čísel. Zbývá ukázat, že operace násobení je na této množině uzavřená:
Nechť \(a\) a \(b\) jsou dva libovolné prvky z množiny \(\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\), tj. \(a=2 \cdot m, m \in \mathbb{Z}\) a \(b=2 \cdot n, n \in \mathbb{Z}\). Potom \(a\cdot b = 2 \cdot m \cdot 2 \cdot n = 4 \cdot(m \cdot n )\). Je zřejmé, že výsledek součinu je dělitelný čtyřkou beze zbytku a tedy i dvojkou. Operace je tedy na množině uzavřená.
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
2. \(D_2=\left(\lbrace 3\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace,\cdot\right)\)
Tento podgrupoid je definovaný obdobně. Množina \(\lbrace 3\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\) obsahuje všechna čísla dělitelná trojkou beze zbytku. Je zřejmé, že se jedná o podmnožinu \(\mathbb{R}\) a obdobně jako v přechozím bodě lze ukázat, že je operace násobení na této množině uzavřená.
Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Ověřili jsme tedy, že oba grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\). Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid \((\mathbb{R},\cdot)\):
Průnikem množin \(\lbrace 2\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\) a \(\lbrace 3\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\) obdržíme množinu všech celých čísel, které jsou beze zbytku dělitelné dvojkou a trojkou zároveň. Obdržíme tedy množinu všech celých čísel dělitelných beze zbytku číslem 6 neboli \(\lbrace 6\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\).
Tato množina je podmnožinou reálných čísel. Opět lze ukázat, že operace násobení je na této množině uzavřená:
Nechť \(a\) a \(b\) jsou dva libovolné prvky z množiny \(\lbrace 6\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace\), tj. \(a=6 \cdot m, m \in \mathbb{Z}\) a \(b=6 \cdot n, n \in \mathbb{Z}\). Potom \(a\cdot b = 6 \cdot m \cdot 6 \cdot n = 36\cdot (m \cdot n )\). Je zřejmé, že výsledek součinu je dělitelný číslem 36 beze zbytku a tedy i číslem 6 (protože 36 je dělitelné 6). Operace je tedy na množině uzavřená.
Ukázali jsme tedy, že \(\left(\lbrace 6\cdot n, n \in \mathbb{Z}\rbrace,\cdot\right)\) je podgrupoidem grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\).
Příklad 7#
Mějme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\). Najděte jeho podgrupoid generovaný množinou \(M=\lbrace -1, 0 \rbrace\).
Zobrazit řešení
Nejprve je třeba si vyjasnit, co je to podgrupoid generovaný množinou \(M\). Toto je vysvětleno v definici 6, ale k jejímu pochopení je třeba znát i větu 8. Zjednodušeně řečeno jde o to rozšířit množinu \(M\), která je sama podmnožinou nějakého grupoidu o co nejmenší počet prvků tak, aby nám vznikl podgrupoid onoho grupoidu.
Víme, že \((\mathbb{R},\cdot)\) je grupoidem. Nyní ověříme, zda \((\lbrace -1, 0 \rbrace,\cdot)\) je podgrupoidem tohoto grupoidu.
Množina \(\lbrace -1, 0 \rbrace\) je podmnožinou \(\mathbb{R}\). Zbývá ověřit, jestli je množina uzavřená vzhledem k operaci násobení. K tomuto opět použijeme Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
Jak vidíme, tak operace není uzavřená, protože \(-1 \cdot -1 =1\) a hodnota \(1\) není v naší množině (ale je v množině \(\mathbb{R}\)). Zkusíme tedy naši množinu \(M\) rozšířit o hodnotu \(1\) a opět ověříme, zda je operace vůči množině \(\lbrace -1, 0, 1 \rbrace\) uzavřená (pokud by nebyla, budeme takto postupovat opakovaně):
\(\cdot\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
|---|---|---|---|
\(-1\) |
\(1\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
Vidíme, že teď je již operace uzavřená na množině (a nově vzniklá množina je podmnožinou \(\mathbb{R}\)). Nalezli jsme tedy podgrupoid generovaný množinou \(M\).
Příklad 8#
Mějme grupoid \((M_{2,2}(\mathbb{R}),+)\).Ukažte, že \((K,\cdot)\), kde \((K=\left\lbrace \left( \begin{array}{ccc} a & b \\-b& a \end{array} \right),\,\, a, b \in \mathbb{R} \right\rbrace \) tvoří podgrupoid toho grupoidu.
Zobrazit řešení
Je třeba dokázat, že množina \(K\) je podmnožinou množiny \(M_{2,2}(\mathbb{R})\) a operace sčítání matic je na množině \(K\) uzavřená.
První část je zřejmá, protože z množiny všech čtvercových reálných matic řádu 2 vybíráme jejich podmnožinu (opět mohou obsahovat reálná čísla, nicméně hodnoty na hlavní diagonále se rovnají a na vedlejší diagonále jsou hodnoty stejné, ale s opařným znaménkem).
Je třeba ukázat, že je operace sčítání matic na množině \(K\) uzavřená, tj. \(\forall a,b,c,d\in\mathbb{R}: \left( \begin{array}{ccc} a & b \\-b& a \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} c & d \\-d& c \end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{ccc} a+c & b+d\\-b-d& a+c \end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{ccc} a+c & b+d \\-(b+d)& a+c \end{array} \right)\).
Jak je vidět, operace je uzavřená, protože hodnoty na hlavní diagonále jsou opět shodná reálná čísla a na vedlejší diagonále obdržíme shodná reálná čísla lišící se znamenénkem.
\((K,\cdot)\) je tedy podgrupoidem grupoidu \((M_{2,2}(\mathbb{R}),+)\).