{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Cvičení 6 (13. 11. 2023)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{Z},+)$. Ukažte, zda následující množiny tvoří nebo netvoří podgrupoid tohoto grupoidu:\n",
    "1. $A=\\lbrace 2 \\rbrace$,\n",
    "2. $B=\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z} \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Nejprve je třeba si vyjasnit, co je to vlastně podgrupoid. Toto je vysvětleno v definici 5, která se nachází v kapitole 2. Definice zjednodušeně říká, že pokud mám nějaký grupoid, například $(A,*)$, pak grupoid $(B,*)$ bude jeho podgrupoidem, jestliže platí dvě podmínky:\n",
    "1. Množina $B$ je podmnožinou množiny $A$,\n",
    "2. operace $*$ je zúžením operace z prvního grupoidu na nový grupoid - jinak řečeno platí, že $\\forall a,b \\in B: a*b\\in B$. Tj. pokud vezmu libovolné dva prvky z množiny $B$ a aplikuji na ně operaci $*$, musím obdržet opět prvek z množiny $B$ (jinak by dvojice $(B,*)$ netvořila grupoid).\n",
    "\n",
    "Naším úkolem je tedy ověřit, jestli nová množina je podmnožinou množiny $\\mathbb{Z}$ a dále, jestli je operace $*$ na této nové množine uzavřená:\n",
    "\n",
    "**1.  $A=\\lbrace 2 \\rbrace$**\n",
    "\n",
    "- Nejprve se zaměříme na samotnou množinu $A$. Ta obsahuje pouze jeden prvek, kterým je číslo 2. Je zřejmé, že tato hodnota je podmnožinou množiny $\\mathbb{Z}$. \n",
    "\n",
    "- Ještě je třeba ověřit, zda je operace $+$ na množině $A$ uzavřená. To ale zjevně není pravda, protože $2+2=4$ a $4$ neleží v množině $A$. Je tedy zřejmé, že $(A,+)$ není grupoid a nemůže být tedy ani podgrupoidem.\n",
    "\n",
    "**2. $B=\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z} \\rbrace$**\n",
    "\n",
    "- Budeme postupovat analogicky. Z definice množiny $B$ plyne, že obsahuje dvojnásobky celých čísel - obsahuje tedy všechna sudá čísla. A sudá čísla jsou podmnožinou celých čísel.\n",
    "\n",
    "- Nyní je třeba ověřit, že operace $+$ je na množině $B$ uzavřená. Toto je pravda, protože součtem dvou sudých čísel je opět sudé číslo. \n",
    "\n",
    "**Vysvětlení:** mějme dvě sudá čísla $a,b$. Protože jsou sudá, je možné je zapsat následovně (viz definice množiny $B$): $a=2\\cdot m, m\\in \\mathbb{Z}$ a $b=2\\cdot n, n\\in \\mathbb{Z}$. Potom $a+b=2\\cdot m + 2\\cdot n=2\\cdot (m+n)$ kde $m+n \\in \\mathbb{Z}$, tj. opět dostáváme sudé číslo.\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme tedy, že grupoid $(B,+)$ je podgrupoidem grupoidu  $(\\mathbb{Z},+)$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Ukažte, zda následující množiny tvoří nebo netvoří podgrupoid tohoto grupoidu:\n",
    "1. $C=\\lbrace 0, 1 \\rbrace$,\n",
    "2. $D=\\lbrace 1, 2 \\rbrace$,\n",
    "3. $E=\\lbrace -1, 0 \\rbrace$,\n",
    "4. $F=\\lbrace -1, 1 \\rbrace$,\n",
    "5. $G=\\lbrace -1, 0, 1 \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "U tohoto příkladu budeme postupovat analogicky, jako v předchozím příkladě Je zřejmé, že všechny množiny jsou podmnožinou $\\mathbb{R}$. Stačí tedy ověřit uzavřenost operací, s čímž nám pomůže Cayleyho tabulka:\n",
    "\n",
    "**1.  $C=\\lbrace 0, 1 \\rbrace$**\n",
    "\n",
    "Sestrojíme si Cayleyho tabulku:\n",
    "\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace násobení je na množině $C$ uzavřená a $(C,\\cdot)$ je podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**2. $D=\\lbrace 1, 2 \\rbrace$,\n",
    "\n",
    "Sestrojíme si Cayleyho tabulku:\n",
    "\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $1$ |  $2$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $1$ | $1$ | $2$ |\n",
    "| $2$ | $2$ | $4$ |\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace násobení není na množině $D$ uzavřená, protože $2\\cdot2=4$ a tato hodnota neleží v $D$. \n",
    "\n",
    "Můžeme tedy říct, že $(D,\\cdot)$ netvoří grupoid (a nemůže být ani podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$).\n",
    "\n",
    "**3. $E=\\lbrace -1, 0 \\rbrace$\n",
    "\n",
    "Sestrojíme si Cayleyho tabulku:\n",
    "\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace násobení není na množině $E$ uzavřená, protože $-1\\cdot -1=1$ a tato hodnota neleží v $E$. \n",
    "\n",
    "Můžeme tedy říct, že $(E,\\cdot)$ netvoří grupoid (a nemůže být ani podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$).\n",
    "\n",
    "**4. $F=\\lbrace -1, 1 \\rbrace$\n",
    "\n",
    "Sestrojíme si Cayleyho tabulku:\n",
    "\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $-1$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace násobení je na množině $F$ uzavřená a $(F,\\cdot)$ je podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**5. $G=\\lbrace -1, 0, 1 \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "Sestrojíme si Cayleyho tabulku:\n",
    "\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ | $-1$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace násobení je na množině $G$ uzavřená a $(G,\\cdot)$ je podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{Z},\\cdot)$. Vyšetřete komutativitu, asociativitu a najděte neutrální prvek tohoto grupoidu a ukažte, že následující podgrupoidy mají stejné vlastnosti:\n",
    "1. $(\\lbrace 1\\rbrace,\\cdot)$,\n",
    "2. $(\\lbrace -1, 1\\rbrace,\\cdot)$,\n",
    "3. $(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$,\n",
    "4. $(\\lbrace 0 \\rbrace,\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Zde je dobré se nejprve podívat na větu 7 v kapitole 2. Tato věta říká, že pokud je grupoid asociativní (respektive komutativní), pak bude asociativní (respektive komutativní) i každý jeho podgrupoid. Navíc pokud v grupoidu existuje neutrální prvek, bude tento prvek neutrálním prvkem v každém podgrupoidu tohoto grupoid, který tento neutrální prvek obsahuje. V tomto příkladu si tedy ukážeme, že tato věta platí.\n",
    "\n",
    "Nejprve vyšetřeme grupoid $(\\mathbb{Z},\\cdot)$. Víme, že operace násobení je na množině celých čísel komutativní (nezáleží nám na pořádí prvků), asociativní (nezáleží nám na uzávorkování) a navíc zde existuje neutrální prvek $e=1$. Nyní se zaměřme na jednotlivé podgrupoidy a podívejme se, že věta 7 platí: \n",
    "\n",
    "**1. $(\\lbrace 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že operace násobení je na množině obsahující pouze prvek $1$ uzavřená (protože $1\\cdot1=1$) a $(\\lbrace 1\\rbrace,\\cdot)$ je tedy podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{Z},\\cdot)$. Nyní se zaměřme na jednotlivé vlastnosti:\n",
    "\n",
    "- **komutativita**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že operace násobení je na množině $\\lbrace 1 \\rbrace$ komutativní, protože můžeme násobit pouze jedničku samu se sebou.\n",
    "\n",
    "- **asociativita**\n",
    "\n",
    "Analogicky jako u komutatitivity je zřejmé, že násobení na je na množině $\\lbrace 1 \\rbrace$ asociativní.\n",
    "\n",
    "- **neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že hodnota $1$ je neutrálním prvkem, protože svou hodnotu nemění.\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, tak výsledky jsou ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.\n",
    "\n",
    "**2.  $(\\lbrace -1, 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Tentokrát si vypomůžeme Cayleyho tabulkou:\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $-1$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Z tabulky vidíme, že operace násobení je na množině $\\lbrace -1, 1\\rbrace$ uzavřená, jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{Z},\\cdot)$. \n",
    "\n",
    "- **komutativita**\n",
    "\n",
    "Tabulka je symetrická a náš podgrupoid je tedy  komutativní. \n",
    "\n",
    "- **asociativita**\n",
    "\n",
    "Asociativitu z tabulky zjistit přímo nemůžeme, ale víme, že operace násobení je komutativní. \n",
    "\n",
    "- **neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Z tabulky je zřejmé, že neutrálním prvkem je $1$, protože řádek (sloupec) u jedničky kopíruje první řádek (sloupec) tabulky.\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, tak výsledky jsou opět ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.\n",
    "\n",
    "**3. $(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Opět si vypomůžeme Cayleyho tabulkou:\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ | $-1$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Z tabulky vidíme, že operace násobení je na množině $\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace$ uzavřená, jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{Z},\\cdot)$.  \n",
    "\n",
    "- **komutativita**\n",
    "\n",
    "Tabulka je symetrická a náš podgrupoid je tedy  komutativní. \n",
    "\n",
    "- **asociativita**\n",
    "\n",
    "Asociativitu z tabulky zjistit přímo nemůžeme, ale víme, že operace násobení je komutativní. \n",
    "\n",
    "- **neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Z tabulky je zřejmé, že neutrálním prvkem je $1$, protože řádek (sloupec) u jedničky kopíruje první řádek (sloupec) tabulky.\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, tak výsledky jsou opět ve shodě s větou 7. Náš podgrupoid je komutativní a asociativní a protože navíc obsahuje i neutrální prvek, je tento prvek neutrálním prvkem i v našem grupoidu.\n",
    "\n",
    "**4. $(\\lbrace 0 \\rbrace,\\cdot)$.**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že operace násobení je na množině obsahující pouze prvek $0$ uzavřená (protože $0\\cdot0=0$) a $(\\lbrace 0\\rbrace,\\cdot)$ je tedy podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{Z},\\cdot)$. Nyní se zaměřme na jednotlivé vlastnosti:\n",
    "\n",
    "- **komutativita**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že operace násobení je na množině $\\lbrace 0 \\rbrace$ komutativní, protože můžeme násobit pouze nulu samu se sebou.\n",
    "\n",
    "- **asociativita**\n",
    "\n",
    "Analogicky jako u komutatitivity je zřejmé, že násobení na je na množině $\\lbrace 0 \\rbrace$ asociativní.\n",
    "\n",
    "- **neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že hodnota $0$ je neutrálním prvkem, protože svou hodnotu nemění při násobením libovolným prvkem z množiny $\\lbrace 0 \\rbrace$. \n",
    "\n",
    "Náš podgrupoid je komutativní a asociativní. Co se týká neutrálního prvku, tak ten existuje, ale liší se od neutrálního prvku z grupoidu $(\\mathbb{Z},\\cdot)$! Toto ovšem není chyba - věta 7 totiž říká, že neutrální prvek z původního grupoidu je neutrálním prvkem podgrupoidu, pokud tento podgrupoid tento neutrální prvek obsahuje. V našem případě ale množina $\\lbrace 0 \\rbrace$ neobsahuje neutrální prvek z původního grupoidu, takže věta 7 zde neplatí a neutrální prvek zde může ale nemusí existovat (a pokud existuje, jeho hodnota s emusí lišit od hodnoty neutrální prvku původního grupoidu).\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 4\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$ a jeho 3 podgrupoidy:\n",
    "1. $B_1=(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$,\n",
    "2. $B_2=(\\lbrace 0, 1\\rbrace,\\cdot)$,\n",
    "3. $B_3=(\\mathbb{Z},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Zde je třeba se nejprve podívat na lemma 1 v kapitole 2. Toto lemma zjednodušeně říká, že pokud máme grupoid a k němu několik jeho podgrupoidů, pak pokud udělám průnik všech množin z těchto podgrupoidů a tento průnik bude neprázdný, potom tato nově vzniklá množina spolu se zúženám operace z původního grupoidu na nově vzniklou množinu bude opět podgrupoidem našeho grupoidu. Pojďmě si to ukázat na příkladu.\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že $\\mathbb{R}$ spolu s operací násobení tvoří grupoid (násobením dvou reálných čísel obdržím opět reálné číslo). Nyní ověříme, že uvedené tři grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "**1. $B_1=(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Množina $\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace$ je zjevně podmnožinou $\\mathbb{R}$ a z Cayleyho tabulky vidíme, že je oprace nasobení na této množině uzavřená:\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ | $-1$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**2. $B_2=(\\lbrace 0, 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Množina $\\lbrace 0, 1\\rbrace$ je zjevně podmnožinou $\\mathbb{R}$ a z Cayleyho tabulky vidíme, že je oprace nasobení na této množině uzavřená:\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**3. $B_3=(\\mathbb{Z},\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Množina $\\mathbb{Z}$ je zjevně podmnožinou $\\mathbb{R}$ a operace násobení je na množine $\\mathbb{Z}$ uzavřená.\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "Ověřili jsme tedy, že všechny tři grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "Průnikem množin $\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace$, $\\lbrace 0, 1\\rbrace$ a $\\mathbb{Z}$ obdržíme množinu $\\lbrace 0, 1\\rbrace$. Lemma 1 říká, že tato množina spolu se zúžením operace násobení tvoří podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Toto je zjevně pravda, protože takto vzniklý podgrupoid $(\\lbrace 0,1\\rbrace , \\cdot)$ je podgrupoid $B_2$ u kterého jsme již dokázali, že je podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 5\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$ a jeho podgrupoidy:\n",
    "1. $C_1=(\\mathbb{N},\\cdot)$. \n",
    "2. $C_2=(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Z minulého příkladu již víme, že  $(\\mathbb{R},\\cdot)$ je grupoid. Pojďme opět ověřit, že uvedené dva grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "**1. $C_1=(\\mathbb{N},\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Operace násobení je na množině přirozených čísel uzavřená (násobením dvou přirozených čísel obdržíme opět přirozené číslo).\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**2. $B_1=(\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace,\\cdot)$**\n",
    "\n",
    "Jedná se o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$, jak bylo ukázáno v předchozím příkladě.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "Ověřili jsme tedy, že oba grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "Průnikem množin $\\mathbb{N}$ a $\\lbrace -1, 0, 1\\rbrace$ obdržíme množinu $\\lbrace 1\\rbrace$. Lemma 1 říká, že tato množina spolu se zúžením operace násobení tvoří podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Toto je zjevně pravda, protože množina $\\lbrace 1 \\rbrace$ je podmnožinou množiny $\\mathbb{R}$ a operace násobení je uzavřená vzhledem k množině $\\lbrace 1\\rbrace$. Grupoid $(\\lbrace 1\\rbrace , \\cdot)$ je tedy podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$ (povšimněme si, že narozdíl od předchozího příkladu jsme obdrželi \"nový\" podgrupoid).\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 6\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$ a jeho podgrupoidy:\n",
    "1. $D_1=\\left(\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace,\\cdot\\right)$,\n",
    "2. $D_2=\\left(\\lbrace 3\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace,\\cdot\\right)$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "Ukažte, že průnikem těchto podgrupoidů bude opět podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Z minulého příkladu již víme, že  $(\\mathbb{R},\\cdot)$ je grupoid. Pojďme opět ověřit, že uvedené dva grupoidy jsou opravdu podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "**1. $D_1=\\left(\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace,\\cdot\\right)$**\n",
    "\n",
    "S podobným grupoidem jsme se již setkali. Množina $\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$ obsahuje všechna sudá čísla respektive všechna čísla dělitelná dvojkou beze zbytku.\n",
    "\n",
    "Tato množina je podmnožinou reálných čísel. Zbývá ukázat, že operace násobení je na této množině uzavřená:\n",
    "\n",
    "Nechť $a$ a $b$ jsou dva libovolné prvky z množiny $\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$, tj. $a=2 \\cdot m, m \\in \\mathbb{Z}$ a $b=2 \\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}$. Potom $a\\cdot b = 2 \\cdot m \\cdot  2 \\cdot n = 4 \\cdot(m \\cdot n )$. Je zřejmé, že výsledek součinu je dělitelný čtyřkou beze zbytku a tedy i dvojkou.  Operace je tedy na množině uzavřená.\n",
    "\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "**2. $D_2=\\left(\\lbrace 3\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace,\\cdot\\right)$**\n",
    "\n",
    "Tento podgrupoid je definovaný obdobně. Množina $\\lbrace 3\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$ obsahuje všechna čísla dělitelná trojkou beze zbytku. Je zřejmé, že se jedná o podmnožinu $\\mathbb{R}$ a obdobně jako v přechozím bodě lze ukázat, že je operace násobení na této množině uzavřená.\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o podgrupoid grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "Ověřili jsme tedy, že oba grupoidy jsou podgrupoidy grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Nyní pojďmě nalézt průnik těchto podgrupoidů a ukázat, že se opět jedná o podgrupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$:\n",
    "\n",
    "Průnikem množin $\\lbrace 2\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$ a $\\lbrace 3\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$ obdržíme množinu všech celých čísel, které jsou beze zbytku dělitelné dvojkou a trojkou zároveň. Obdržíme tedy množinu všech celých čísel dělitelných beze zbytku číslem 6 neboli $\\lbrace 6\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$. \n",
    "\n",
    "Tato množina je podmnožinou reálných čísel. Opět lze ukázat, že operace násobení je na této množině uzavřená:\n",
    "\n",
    "Nechť $a$ a $b$ jsou dva libovolné prvky z množiny $\\lbrace 6\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace$, tj. $a=6 \\cdot m, m \\in \\mathbb{Z}$ a $b=6 \\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}$. Potom $a\\cdot b = 6 \\cdot m \\cdot  6 \\cdot n = 36\\cdot (m \\cdot n )$. Je zřejmé, že výsledek součinu je dělitelný číslem 36 beze zbytku a tedy i číslem 6 (protože 36 je dělitelné 6). Operace je tedy na množině uzavřená.\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme tedy, že $\\left(\\lbrace 6\\cdot n, n \\in \\mathbb{Z}\\rbrace,\\cdot\\right)$ je podgrupoidem grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 7\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$. Najděte jeho podgrupoid generovaný množinou $M=\\lbrace -1, 0 \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Nejprve je třeba si vyjasnit, co je to podgrupoid generovaný množinou $M$. Toto je vysvětleno v definici 6, ale k jejímu pochopení je třeba znát i větu 8. Zjednodušeně řečeno jde o to rozšířit množinu $M$, která je sama podmnožinou nějakého grupoidu o co nejmenší počet prvků tak, aby nám vznikl podgrupoid onoho grupoidu.\n",
    "\n",
    "Víme, že $(\\mathbb{R},\\cdot)$ je grupoidem. Nyní ověříme, zda $(\\lbrace -1, 0 \\rbrace,\\cdot)$ je podgrupoidem tohoto grupoidu.\n",
    "\n",
    "Množina $\\lbrace -1, 0 \\rbrace$ je podmnožinou $\\mathbb{R}$. Zbývá ověřit, jestli je množina uzavřená vzhledem k operaci násobení. K tomuto opět použijeme Cayleyho tabulku: \n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "\n",
    "Jak vidíme, tak operace není uzavřená, protože $-1 \\cdot -1 =1$ a hodnota $1$ není v naší množině (ale je v množině $\\mathbb{R}$). Zkusíme tedy naši množinu $M$ rozšířit o hodnotu $1$ a opět ověříme, zda je operace vůči množině  $\\lbrace -1, 0, 1 \\rbrace$ uzavřená (pokud by nebyla, budeme takto postupovat opakovaně):\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $-1$ |  $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $-1$ | $1$ | $0$ | $-1$ |\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |\n",
    "| $1$ | $-1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "Vidíme, že teď je již operace uzavřená na množině (a nově vzniklá množina je podmnožinou $\\mathbb{R}$). Nalezli jsme tedy podgrupoid generovaný množinou $M$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 8\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(M_{2,2}(\\mathbb{R}),+)$.Ukažte, že $(K,\\cdot)$, kde $(K=\\left\\lbrace \\left( \\begin{array}{ccc} a & b \\\\-b& a \\end{array} \\right),\\,\\, a, b \\in \\mathbb{R} \\right\\rbrace $ tvoří podgrupoid toho grupoidu.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Je třeba dokázat, že množina $K$ je podmnožinou množiny $M_{2,2}(\\mathbb{R})$ a operace sčítání matic je na množině $K$ uzavřená.\n",
    "\n",
    "První část je zřejmá, protože z množiny všech čtvercových reálných matic řádu 2 vybíráme jejich podmnožinu (opět mohou obsahovat reálná čísla, nicméně hodnoty na hlavní diagonále se rovnají a na vedlejší diagonále jsou hodnoty stejné, ale s opařným znaménkem).\n",
    "\n",
    "Je třeba ukázat, že je operace sčítání matic na množině $K$ uzavřená, tj. \n",
    "$\\forall a,b,c,d\\in\\mathbb{R}: \\left( \\begin{array}{ccc} a & b \\\\-b& a \\end{array} \\right)+\\left( \\begin{array}{ccc} c & d \\\\-d& c \\end{array} \\right)=$ $\\left( \\begin{array}{ccc} a+c & b+d\\\\-b-d& a+c \\end{array} \\right)=$ $\\left( \\begin{array}{ccc} a+c & b+d \\\\-(b+d)& a+c \\end{array} \\right)$.\n",
    "\n",
    "Jak je vidět, operace je uzavřená, protože hodnoty na hlavní diagonále jsou opět shodná reálná čísla a na vedlejší diagonále obdržíme shodná reálná čísla lišící se znamenénkem.\n",
    "\n",
    "$(K,\\cdot)$ je tedy podgrupoidem grupoidu $(M_{2,2}(\\mathbb{R}),+)$.\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.6"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}