Domácí úkol 2 (2. 10. 2023)#

Příklad 1#

Dokažte, že pro každé \(n \in \mathbb{N}_0\) je číslo \(3^{n+3}+3^{n+2}\) násobkem čísla \(12\).

Zobrazit výsledek

Ano, jedná se o násobek čísla \(12\) pro každé \(n\in\mathbb{N}_0\)

Příklad 2#

Dokažte, že pro každé \(n \in \mathbb{N}_0\) je číslo \(7^{n+5}+6^{2 n+3}\) násobkem čísla \(29\).

Zobrazit výsledek

Ano, jedná se o násobek čísla \(29\) pro každé \(n\in\mathbb{N}_0\)

Příklad 3#

Dokažte, že pro každé \(n \in \mathbb{N_0}\) platí, že číslo \(7\) nedělí \(3^{2 n+5}\).

Zobrazit výsledek

Ano, nedělí.

Příklad 4#

Nechť \(M=\lbrace \textrm{Kámen}, \textrm{Nůžky}, \textrm{Papír}, \textrm{Tapír}, \textrm{Spock}\rbrace\) a nechť \(\circ\) je binární operace, která libolvolným dvěma prvkům z množiny \(M\) přiřadí takový prvek, který vyhrává dle pravidel hry Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock (viz níže). Pokud byl vybrán dvakrát stejný prvek (tj. došlo k remíze), vyhrává právě tento prvek. Sestrojte Cayleyho tabulku a rozhodněte, zda uspořádaná dvojice \((M,\circ)\) tvoří grupoid.

Pravidla hry Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock:

  • Nůžky stříhají papír

  • Papír balí kámen

  • Kámen rozdrtí tapíra

  • Tapír otráví Spocka

  • Spock zničí nůžky

  • Nůžky utnou hlavu tapírovi

  • Tapír sní papír

  • Papír usvědčí Spocka

  • Spock vypaří kámen

  • Kámen tupí nůžky

Zobrazit výsledek

Ano, \((M,\circ)\) tvoří grupoid.