Cvičení 3 s pomocí Maximy (9. 10. 2023)

Obsah

Cvičení 3 s pomocí Maximy (9. 10. 2023)#

Příklad 1#

Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\mathbb{R},+)$.

Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:

Komutativita#

Je třeba ověřit, že

\[\forall a,b\in \mathbb{R}:\, a+b=b+a.\]

Tento předpis si upravíme do tvaru

\[(a+b)-(b+a)=0\]

a levou stranu rovnice zadáme do Maximy:

(a+b)-(b+a);

\[\tag{${\it \%o}_{1}$}0\]

Výsledek je roven nule z čehož plyne, že rovnice je správně, tj. platí $(a+b)=(b+a)$. Tedy grupoid $(\mathbb{R},+)$ je komutativní.

Asociativita#

Je třeba ověřit, že

\[\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\, (a+b)+c=a+(b+c).\]

Předpis si upravíme (analogicky jako v předchozím případě) do tvaru

\[((a+b)+c)-(a+(b+c))=0\]

a levou stranu rovnice opět zadáme do Maximy:

((a+b)+c)-(a+(b+c));

\[\tag{${\it \%o}_{2}$}0\]

Výsledek je opět roven nule, tj. platí $(a+b)+c=a+(b+c)$. Tedy grupoid $(\mathbb{R},+)$ je asociativní.

Neutrální prvek#

Je třeba ověřit, že

\[\forall a\in\mathbb{R}\, \exists e\in \mathbb{R}: a+e=a=e+a\]

Protože operace $+$ je komutativní, bude stačit vyřešit jednu z rovností $a+e=a$ a $e+a=a$. Nicméně z edukativních důvodů si vyřešíme obě rovnosti. Tentokrát v Maximě využijeme funkci solve (v první hranaté závorce je uvedena rovnice, ve druhé je uvedena proměnná, jejíž řešení hledáme):

solve([a+e=a],[e]);
solve([e+a=a],[e]);

\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ e=0 \right] \]

\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ e=0 \right] \]

Z obou rovnic dostáváme, že neutřální prvek $e$ je roven $0$. Tedy v grupoidu $(\mathbb{R},+)$ existuje neutrální prvek.

Symetrický prvek#

Je třeba ověřit, zda

\[\forall a\in\mathbb{R}\, \exists a^*\in\mathbb{R}:\, a+a^*=e=a^*+a.\]

Protože operace $+$ je komutativní, opět by stačilo vyřešit jednu z rovností $a+a^*=e$ a $a^*+a=e$.

Pro snadnější zápis do maximy místo proměnné $a^*$ zadáme proměnnou $a$ a místo $e$ budeme psát skutečnou hodnotu neutrálního prvku, tj. $0$:

solve([a+b=0],[b]);
solve([b+a=0],[b]);

\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ b=-a \right] \]

\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ b=-a \right] \]

Z Maximy dostáváme, že $a^*=-a$. Je zřejmé, že každému $a$ existuje $a^*$, můžeme říct, že $(\mathbb{R},+)$ je Abelovskou grupou.

Příklad 2#

Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\mathbb{R},\triangle)$, kde $\forall a,b \in \mathbb{R}: a\triangle b = a+ab+b$.

Abychom mohli vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu, je třeba si nejprve zadefinovat nový operátor triangle:

triangle(a,b):=a+a*b+b;

\[\tag{${\it \%o}_{7}$}{\it triangle}\left(a , b\right):=a+a\,b+b\]

Pokud nyní zadáme triangle(a,b), dostaneme pro prvky $a$ a $b$ výsledek operace $\triangle$:

triangle(2,3);

\[\tag{${\it \%o}_{8}$}11\]

Nyní již budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladě:

Komutativita#

triangle(a,b)-triangle(b,a);

\[\tag{${\it \%o}_{9}$}0\]

Vydíme že rovnice platí, tedy grupoid je komutativní.

Asociativita#

(triangle(triangle(a,b),c)-triangle(a,triangle(b,c)));

\[\tag{${\it \%o}_{10}$}-a\,\left(b\,c+c+b\right)+\left(a\,b+b+a\right)\,c-b\,c+a\,b\]

Tentokrát jsme rovnost neobdrželi. Nicméně je možné, že toto je pouze důsledekem toho, že se Maxima nesnažila výraz zjednodušit. K tomu jí vyzveme příkazem ratsimp:

ratsimp(triangle(triangle(a,b),c)-triangle(a,triangle(b,c)));

\[\tag{${\it \%o}_{11}$}0\]

Tentokrát jsme již nulu obdrželi a výsledek je tedy asociativní.

Neutrální prvek#

solve([triangle(a,e)=a],[e]);

\[\tag{${\it \%o}_{12}$}\left[ e=0 \right] \]

Neutrální prvek existuje a je roven nule.

Symetrický prvek#

solve([triangle(a,b)=0],[b]);

\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\left[ b=-\frac{a}{a+1} \right] \]

Nalezli jsme symetrický prvek k prvku $a$, který je dán předpisem $a^*=-\frac{a}{a+1}$. Tento předpis bohužel nemá řešení pro $a=-1$ a tedy symetrický prvek neexistuje ke každému prvku z $\mathbb{R}$.

Z výše uvedeného plyne, že $(\mathbb{R},\triangle)$ je komutativní monoid.

Příklad 3#

Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\mathbb{N} , \vee)$, kde $\forall a, b \in \mathbb{N}: a\vee b = \max\lbrace a, b\rbrace$.

BUdeme postupovat analogicky jako v minulém příkladě, ale musíme myslet na to, že uvažujeme pouze přirozená čísla:

Komutativita#

max(a,b)-max(b,a);

\[\tag{${\it \%o}_{14}$}0\]

Vydíme že rovnice platí, tedy grupoid je komutativní.

Asociativita#

max(max(a,b),c)-max(a,max(b,c));

\[\tag{${\it \%o}_{15}$}0\]

Obdželi jsme nulu, výsledek je tedy asociativní.

Neutrální prvek#

solve([max(a,e)=a],[e]);

\[\tag{${\it \%o}_{16}$}\left[ {\it max}\left(a , e\right)=a \right] \]

Toto řešení nám již nepomůže resp. na to již mé znalosti Maximy nestačí. Pokud naleznete řešení, dejte mi prosím vědět a já ho sem doplním.