{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Cvičení 3 s pomocí Maximy (9. 10. 2023)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},+)$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:\n",
    "\n",
    "### Komutativita\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$$\\forall a,b\\in \\mathbb{R}:\\, a+b=b+a.$$\n",
    "\n",
    "Tento předpis si upravíme do tvaru  \n",
    "\n",
    "$$(a+b)-(b+a)=0$$  \n",
    "\n",
    "a levou stranu rovnice zadáme do Maximy:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{1}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o1)                                  0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 1,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "(a+b)-(b+a);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Výsledek je roven nule z čehož plyne, že rovnice je správně, tj. platí $(a+b)=(b+a)$. Tedy grupoid $(\\mathbb{R},+)$ je *komutativní*.\n",
    "\n",
    "### Asociativita\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$$\\forall a,b,c \\in \\mathbb{R}:\\, (a+b)+c=a+(b+c).$$\n",
    "\n",
    "Předpis si upravíme (analogicky jako v předchozím případě) do tvaru  \n",
    "\n",
    "$$((a+b)+c)-(a+(b+c))=0$$  \n",
    "\n",
    "a levou stranu rovnice opět zadáme do Maximy:\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{2}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o2)                                  0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 2,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "((a+b)+c)-(a+(b+c));"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Výsledek je opět roven nule, tj. platí $(a+b)+c=a+(b+c)$. Tedy grupoid $(\\mathbb{R},+)$ je *asociativní*.\n",
    "\n",
    "### Neutrální prvek\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$$\\forall a\\in\\mathbb{R}\\, \\exists e\\in \\mathbb{R}: a+e=a=e+a$$\n",
    "\n",
    "Protože operace $+$ je komutativní, bude stačit vyřešit jednu z rovností $a+e=a$ a $e+a=a$. Nicméně z edukativních důvodů si vyřešíme obě rovnosti. Tentokrát v Maximě využijeme funkci `solve` (v první hranaté závorce je uvedena rovnice, ve druhé je uvedena proměnná, jejíž řešení hledáme):"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{3}$}\\left[ e=0 \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o3)                               [e = 0]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[e = 0]"
      ]
     },
     "execution_count": 3,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    },
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{4}$}\\left[ e=0 \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o4)                               [e = 0]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[e = 0]"
      ]
     },
     "execution_count": 3,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "solve([a+e=a],[e]);\n",
    "solve([e+a=a],[e]);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Z obou rovnic dostáváme, že neutřální prvek $e$ je roven $0$. Tedy v grupoidu $(\\mathbb{R},+)$ existuje *neutrální prvek*.\n",
    "\n",
    "### Symetrický prvek\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, zda \n",
    "\n",
    "$$\\forall a\\in\\mathbb{R}\\, \\exists a^*\\in\\mathbb{R}:\\, a+a^*=e=a^*+a.$$\n",
    "\n",
    "Protože operace $+$ je komutativní, opět by stačilo vyřešit jednu z rovností $a+a^*=e$ a $a^*+a=e$. \n",
    "\n",
    "Pro snadnější zápis do maximy místo proměnné $a^*$ zadáme proměnnou $a$ a místo $e$ budeme psát skutečnou hodnotu neutrálního prvku, tj. $0$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{5}$}\\left[ b=-a \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o5)                              [b = - a]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[b = -a]"
      ]
     },
     "execution_count": 4,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    },
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{6}$}\\left[ b=-a \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o6)                              [b = - a]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[b = -a]"
      ]
     },
     "execution_count": 4,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "solve([a+b=0],[b]);\n",
    "solve([b+a=0],[b]);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Z Maximy dostáváme, že $a^*=-a$. Je zřejmé, že každému $a$ existuje $a^*$, můžeme říct, že $(\\mathbb{R},+)$ je *Abelovskou grupou*.\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},\\triangle)$, kde $\\forall a,b \\in \\mathbb{R}: a\\triangle b = a+ab+b$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "Abychom mohli vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu, je třeba si nejprve zadefinovat nový operátor `triangle`:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{7}$}{\\it triangle}\\left(a , b\\right):=a+a\\,b+b\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o7)                    triangle(a, b) := a + a b + b"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "triangle(a,b):=a+a*b+b"
      ]
     },
     "execution_count": 5,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "triangle(a,b):=a+a*b+b;"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Pokud nyní zadáme `triangle(a,b)`, dostaneme pro prvky $a$ a $b$ výsledek operace $\\triangle$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{8}$}11\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o8)                                 11"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "11"
      ]
     },
     "execution_count": 6,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "triangle(2,3);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nyní již budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladě:\n",
    "\n",
    "### Komutativita"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{9}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o9)                                  0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 7,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "triangle(a,b)-triangle(b,a);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Vydíme že rovnice platí, tedy grupoid je *komutativní*.\n",
    "\n",
    "### Asociativita"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{10}$}-a\\,\\left(b\\,c+c+b\\right)+\\left(a\\,b+b+a\\right)\\,c-b\\,c+a\\,b\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o10)         (- a (b c + c + b)) + (a b + b + a) c - b c + a b"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "(-a*(b*c+c+b))+(a*b+b+a)*c-b*c+a*b"
      ]
     },
     "execution_count": 8,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "(triangle(triangle(a,b),c)-triangle(a,triangle(b,c)));"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Tentokrát jsme rovnost neobdrželi. Nicméně je možné, že toto je pouze důsledekem toho, že se Maxima nesnažila výraz zjednodušit. K tomu jí vyzveme příkazem `ratsimp`:\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 9,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{11}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o11)                                 0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 9,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "ratsimp(triangle(triangle(a,b),c)-triangle(a,triangle(b,c)));"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Tentokrát jsme již nulu obdrželi a výsledek je tedy *asociativní*.\n",
    "\n",
    "### Neutrální prvek"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 10,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{12}$}\\left[ e=0 \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o12)                              [e = 0]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[e = 0]"
      ]
     },
     "execution_count": 10,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "solve([triangle(a,e)=a],[e]);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Neutrální prvek existuje a je roven nule.\n",
    "\n",
    "### Symetrický prvek"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 11,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{13}$}\\left[ b=-\\frac{a}{a+1} \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "                                          a\n",
       "(%o13)                           [b = - -----]\n",
       "                                        a + 1"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[b = -a/(a+1)]"
      ]
     },
     "execution_count": 11,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "solve([triangle(a,b)=0],[b]);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nalezli jsme symetrický prvek k prvku $a$, který je dán předpisem $a^*=-\\frac{a}{a+1}$. Tento předpis bohužel nemá řešení pro  $a=-1$ a tedy symetrický prvek neexistuje ke každému prvku z $\\mathbb{R}$. \n",
    "\n",
    "Z výše uvedeného plyne, že  $(\\mathbb{R},\\triangle)$ je *komutativní monoid*."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{N} , \\vee)$, kde $\\forall a, b \\in \\mathbb{N}: a\\vee b = \\max\\lbrace a, b\\rbrace$.\n",
    "\n",
    "BUdeme postupovat analogicky jako v minulém příkladě, ale musíme myslet na to, že uvažujeme pouze přirozená čísla:\n",
    "\n",
    "### Komutativita"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 12,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{14}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o14)                                 0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 12,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "max(a,b)-max(b,a);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Vydíme že rovnice platí, tedy grupoid je *komutativní*.\n",
    "\n",
    "### Asociativita"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 13,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{15}$}0\\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o15)                                 0"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "0"
      ]
     },
     "execution_count": 13,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "max(max(a,b),c)-max(a,max(b,c));"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Obdželi jsme nulu, výsledek je tedy *asociativní*.\n",
    "\n",
    "### Neutrální prvek"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 14,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "\\[\\tag{${\\it \\%o}_{16}$}\\left[ {\\it max}\\left(a , e\\right)=a \\right] \\]"
      ],
      "text/plain": [
       "(%o16)                          [max(a, e) = a]"
      ],
      "text/x-maxima": [
       "[max(a,e) = a]"
      ]
     },
     "execution_count": 14,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "solve([max(a,e)=a],[e]);"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Toto řešení nám již nepomůže resp. na to již mé znalosti Maximy nestačí. Pokud naleznete řešení, dejte mi prosím vědět a já ho sem doplním."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Maxima",
   "language": "maxima",
   "name": "maxima"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "maxima",
   "file_extension": ".mac",
   "mimetype": "text/x-maxima",
   "name": "maxima",
   "pygments_lexer": "maxima",
   "version": "branch_5_47_base_381_g45973baf2"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}