Cvičení 8 (20. 11. 2023)

Příklad 1

Ukažte, že grupoidy \(((0,1),\cdot)\) a \(((1,\infty),\cdot)\) jsou izomorfní.

Příklad 2

Nechť \(A=\lbrace 5^n | n \in \mathbb{N}\rbrace\). Ukažte, že grupoidy \((A, \cdot)\) a \((\mathbb{N},+)\) jsou izomorfní.

Příklad 3

Celé číslo \(a\) má při operaci násobení \(\mod n\) inverzní prvek právě tehdy, když \(a\) a \(n\) jsou nesoudělné. Pro všechna \(n>1\) definujeme množinu \(U(n)\) jako množinu všech přozených čísel menších než \(n\), která jsou s \(n\) nesoudělná. Potom množina \(U(n)\) s operací násobení \(\mod n\) tvoří grupu.

Určete množinu \(U(10)\), napište příslušnou Cayleyho tabulku a ověřte, že se jedná o grupu.