Kapitola 4 - Izomorfismus grupoidů

Teorie

Definice 18

Zobrazení \(f: A \to B\) se nazývá

a) injektivní (prosté), jestliže platí

\[\forall a_1, a_2 \in A, b\in B; [(a_1, b)\in f \land (a_2 , b)\in f] \Rightarrow a_1=a_2;\]

b) surjektivní (zobrazení \(A\) na \(B\)), jestliže platí

\[\forall b\in B\,\, \exists a\in A; (a,b) \in f;\]

c) bijektivní (vzájemně jednoznačné zobrazení \(A\) na \(B\)), je-li současně injektivní i surjektivní.

Definice 19

Nechť \((G, \circ)\) a \((H,*)\) jsou grupoidy. Pokud existuje bijekce \(f: G \to H\), pro kterou platí

\[\forall x,y \in G: f(x\circ y)=f(x)*f(y),\]

řekneme, že \(f\) je izomorfní zobrazení (izomorfismus) grupoidu \((G, \circ)\) na grupoid \((H,*)\).

Věta 15

Pokud je \(f\) izomorfní zobrazení grupoidu \((G,\circ)\) na grupoid \((H, *)\), potom inverzní zobrazení \(f^{-1}\) je izomorfním zobrazením grupoidu \((H, *)\) na grupoid \((G,\circ)\).

Definice 20

Pokud existuje izomorfní zobrazení grupoidu \((G,\circ)\) na grupoid \((H,*)\) tak říkáme, že grupoidy \((G,\circ)\) a \((H,*)\) jsou izomorfní.

Věta 16

Nechť \(f\) je izomorfismus grupoidu \((G,\cdot)\) na grupoid \((K,\triangle)\) a nechť \(g\) je izomorfismus grupoidu \((K, \triangle)\) na grupoid \((H, *)\). Potom složené zobrazení \(g \circ f\) je izomorfismus grupoidu \((G,\cdot)\) na grupoid \((H,*) \).

Věta 17

Nechť \(f\) je izomorfismus grupoidu \((G,\circ)\) na grupoid \((H,*)\). Pak platí:

a) pokud je perace \(\circ\) asociativní (komutativní), potom je i operace \(*\) asociativní (komutativní),

b) pokud \(e\) je neutrální prvek grupoidu \((G, \circ)\), potom \(f(e)\) je neutrální prvek grupoidu \((H,*)\),

c) pokud \(a,a^*\in G\) jsou vzájemně symetrické prvky grupoidu \((G, \circ)\), potom \(f(a)\) a \(f(a^*)\) jsou vzájemně symetrické prvky v grupoidu \((H,*)\).

Důsledek 2

Nechť grupoid \((G, \circ)\) je izomorfní s grupoidem \((H,*)\). Potom \((G, \circ)\) je pologrupa (monoid, grupa) tehdy a jen tehdy, když \((H,*)\) je pologrupa (monoid, grupa).