Cvičení 4 (16. 10. 2023)#
Příklad 1#
Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace),\oplus)\), kde \(\forall (a,b), (c,d)\in (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace):\) \((a,b)\oplus(c,d)=(ad+bc,bd) \).
Zobrazit řešení
Příklad budeme řešit stejně jako předchozí příklady, nicméně je třeba mít na paměti, že prvky grupoidu netvoří jedno číslo (jak jsme byli doteď zvyklí), ale uspořádáná dvojice dvou reálných čísel (přičemž to druhé nemůže být nula).
Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall (a,b), (c,d)\in (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace):\) \((a,b)\oplus(c,d)= (c,d)\oplus(a,b)\) Tedy:
\((a,b)\oplus(c,d)=(ad+bc,bd)=\) \((c b + d a, d b)=\) \((c,d)\oplus(a,b)\)
Můžeme tedy říct, že grupoid \((\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace),\oplus)\) je komutativní.
Asociativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall (a,b), (c,d), (e,f) \in (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace):\,\) \(((a,b)\oplus(c,d))\oplus(e,f)=(a,b)\oplus((c,d)\oplus(e,f))\). Tedy:
\(((a,b)\oplus(c,d))\oplus(e,f)=\) \((ad+bc,bd)\oplus(e,f)=\) \(((ad+bc)f+bde, bdf)=\) \((adf+bcf+bde, bdf)=\) \((adf+b(cf+de),bdf)=\) \((a,b)\oplus(cf+de,df)=\) \((a,b)\oplus((c,d)\oplus(e,f))\)
Můžeme proto říct, že vyšetřovaný grupoid je asociativní a tedy se jedná o pologrupu. Navíc protože jsme ověřili komutativitu, jedná se o Abelovskou pologrupu.
Neutrální prvek
Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek \(e=(e_1, e_2))\), tj.
\(\exists (e_1, e_2)\in (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace):\,\,\forall (a,b) \in (\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace): (a,b)\oplus(e_1, e_2)=(a,b)\). Tedy:
\((a,b)\oplus(e_1, e_2)=\) \((a e_2 + b e_1, b e_2)=\) \((a,b)\).
Musíme tedy řešit soustavu rovnic:
I. \(a e_2 + b e_1 = a\)
II. \(b e_2 = b\)
Z rovnice II. vidíme, že \(e_2=1\). Nyní do rovnice I. dosadíme \(e_2\):
\(a + b e_1 = a\)
\(b e_1 = 0\)
Tedy \(e_1 = 0\). Neutrální prvek tedy existuje a tvoří jej uspořádaná dvojice \(e=(0, 1)\). Toto není problém, protože pouze druhý prvek z naší uspořádané dvojice nemůže být \(0\).
Můžeme tedy říct, že v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek a je roven \((0, 1)\) (není třeba ověřovat, zda neexistuje ještě jiný neutrální prvek, protože Věta 3.1 jasně říká, že v každém grupoidu může existovat nejvýše jeden neutrální prvek).
Symetrický prvek
Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z \((\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace)\) existuje symetrický prvek, tj.
\(\forall (a,b)\in(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace)\,\) \(\exists (a^*,b^*)\in(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace):\,\) \((a,b)\oplus(a^*,b^*)=(0,1)\). Tedy:
\((a,b)\oplus(a^*,b^*)=\) \((ab^*+b a^*,b b^*)=(0,1)\). Opět musíme řešit soustavu rovnic:
I. \(ab^*+b a^*=0\)
II. \(b b^*=1\)
Z rovnice II. vidíme, že \(b^*=\frac{1}{b}\). Toto není problém, protože \(b\neq 0\) a můžeme tedy dosadit do rovnice I. a dostaneme:
\(a\frac{1}{b}+b a^*=0\)
\(b a^*=-\frac{a}{b}\)
\(a^*=-\frac{a}{b^2}\)
Našli jsme tedy předpis pro symetrické prvky. Symetrický prvek k prvku \((a,b)\) je tedy prvek \(\left(-\frac{a}{b^2}, \frac{1}{b}\right)\). Vypadá to tedy, že pro každý prvek \((a, b)\) existuje v naší Abelovské pologrupě grupě i prvek symetrický.
Nesmíme ale zapomenout, že pro uspořádané dvojice \((a, b)\) platí, že \((a,b)\in \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace)\), což pro tyto symetrické prvky nebude vždy splněno (stačí aby bylo \(b\) různé od \(1\) nebo \(-1\) a \(b^*\) nemusí být celým číslem). Z uvedeného plyne, že ve vyšetřovaném grupoidu neexistuje ke každému prvku prvek inverzní.
Prověřili jsme všechny vlastnosti a můžeme říct, že \((\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\setminus\lbrace 0 \rbrace),\oplus)\) je komutativní monoid.
Příklad 2#
Vysvětlení násobení matic. Mějme dvě matice \(A=\left( \begin{array}{ccc} a & b & c\\d& e & f\end{array} \right)\) a \(B = \left( \begin{array}{cc} k & n \\l & o\\m & p\end{array} \right)\).
Jejich součtem bude matice \(A\cdot B\), kterou vypočítáme následujícícm vztahem:
Vysvětlení postupu:
Pro výpočet prvku matice \(A\cdot B\), který se nachází v prvním řádku v prvním sloupci je třeba si najít první řádek matice, která je první v pořadí (matice \(A\)) a první sloupec matice, která je druhá v pořadí (matice \(B\)). Tedy řádek \((a, b ,c)\) a sloupec \(\left( \begin{array}{c} k \\ l\\ m\end{array} \right)\). Nyní vynásobíme první prvek v řádku prvním prvkem ve sloupci, přičteme součin druhého prvku v řádku s druhým prvkem ve sloupci a ještě přičteme součin třetího prvku v řádku s třetím prvkem ve sloupci, tj. \(ak+bl+cm\) (pokud bychom mělí více prvků v řádku/sloupci, budeme postupovat analogicky).
Prvek matice \(A\cdot b\), který se nachází v \(n\)-tém řádku a \(m\)-tém sloupci vypočítáme analogicky, jen bude třeba najít \(n\)-tý řádek matice \(A\) a \(m\)-tý sloupec matice \(B\).
Pozor
Součin matic není komutativní (tedy záleží na jejich pořadí):
Navíc si můžete všimnout, že matice \(B\cdot A\) má tři sloupce a tři řádky, ale matice \(A\cdot B\) má pouze dva sloupce a dva řádky. Pouze v případě, kdy jsou obě matice čtvercové (tj. mají stejný počet řádků a sloupců) bude mít výsledná matice jejich součinu stejný počet řádků a sloupců bez ohledu na na to, zda násobíme první matici s druhou nebo naopak. Navíc ze vzorce pro výpočet součinu plyne, že pokud má první matice jiný počet řádků než má druhá matice počet sloupců, jejich součin neexistuje.
Příklad 3#
Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((M , \cdot)\), přičemž \(M\) je množina všech matic tvaru \(\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\), kde \(x,y\in\mathbb{R}, x\neq0\) a operace \(\cdot\) je násobení matic.
Zobrazit řešení
Příklad budeme řešit stejně jako předchozí příklady, nicméně je třeba mít na paměti, že prvky grupoidu netvoří jedno číslo (jak jsme byli doteď zvyklí), ale čtvercová matice (na kterou klademe nějaké požadavky).
Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right)\in M:\) \( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\)
Tedy:
\( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right) =\) \(\left( \begin{array}{cc} xa & xb+ya\\0& xa\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} ax & ay+bx\\0& ax\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\)
Můžeme tedy říct, že grupoid \((M , \cdot)\) je komutativní.
Asociativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)\in M:\)
\(\left( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right) \right ) \cdot \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)=\) \( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left(\left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)\right )\)
Tedy:
\(\left( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right) \right ) \cdot \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} xa & xb+ya\\0& xa\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} xac & xad + (xb+ya)c\\0& xac\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} xac & xad + xbc+yac\\0& xac\end{array} \right)=\) \(\left( \begin{array}{cc} xac & x(ad+bc)+yac\\0& xac\end{array} \right)=\) \( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& c\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} ac & ad+bc\\0& ac\end{array} \right)=\) \( \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot\left( \left( \begin{array}{cc} a & b\\0& a\end{array} \right ) \cdot \left( \begin{array}{cc} c & d\\0& c\end{array} \right)\right)\)
Neutrální prvek
Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek E, tj.
\(\exists \left( \begin{array}{cc} e_1 & e_2\\0& e_1\end{array} \right)\in M:\,\,\,\forall \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\in M : \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{cc} e_1 & e_2\\0& e_1\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\).
Tedy:
\(\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{cc} e_1 & e_2\\0& e_1\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\).
\(\left( \begin{array}{cc} x e_1 & x e_2 +y e_1\\0& x e_1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\).
Musíme tedy řešit soustavu rovnic:
I. \(x e_1 = x\)
II. \(x e_2+y e_1 = y\)
Z rovnice I. vidíme, že \(e_1=1\). Nyní do rovnice II. dosadíme \(e_1\):
\(x e_2+y = y\)
\(x e_2 = 0\)
Tedy \(e_2 = 0\). Neutrální prvek tedy existuje a tvoří jej matice \(E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\0& 1\end{array} \right)\).
Můžeme tedy říct, že v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek a je roven \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\0& 1\end{array} \right)\).
Symetrický prvek
Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z \(M\) existuje symetrický prvek, tj.
\(\forall \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\in M \,\,\,\exists \left( \begin{array}{cc} x^* & y^*\\0& x^*\end{array} \right)\in M: \left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{cc} x^* & y^*\\0& x^*\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\0& 1\end{array} \right)\).
Tedy:
\(\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\cdot \left (\begin{array}{cc} x^* & y^*\\0& x^*\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\0& 1\end{array} \right)\)
\(\left( \begin{array}{cc} x x^* & x y^*+y x^*\\0& x x^*\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\0& 1\end{array} \right)\)
Opět budeme řešit soustavu rovnic:
I. \(x x^*=1\)
II. \(x y^*+y x^*=0\)
Z rovnice I. vidíme, že \(x^*={\frac{1}{x}}\). Toto není problém, protože \(x\neq 0\) a můžeme tedy dosadit do rovnice II. a dostaneme:
\(x y^*+{\frac{y}{x}} =0\)
\(x y^* =-{\frac{y}{x}}\)
\(y^*=-{\frac{y}{x^2}}\)
Našli jsme tedy předpis pro symetrické prvky. Symetrický prvek k prvku \(\left( \begin{array}{cc} x & y\\0& x\end{array} \right)\) je tedy prvek \(\left( \begin{array}{cc} {\frac{1}{x}}& {\frac{y}{x^2}}\\0& {\frac{1}{x}}\end{array} \right)\).
Prověřili jsme všechny vlastnosti a můžeme říct, že \((M , \cdot)\) je Abelovská grupa.
Příklad 4#
Nechť \(K_3\) je množina všech třetích (komplexních) odmocnin z čísla 1, tj. \(K_3 = \left \lbrace 1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \right \rbrace\). Ukažte, že \((K_3, \cdot)\) je grupa.
Zobrazit řešení
Nejprve si sestrojíme si Cayleyho tabulku:
\(\cdot\) |
\(1\) |
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) |
|
|---|---|---|---|---|
\(1\) |
\(1\) |
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) |
|
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) |
1 |
|
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) |
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) |
1 |
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) |
Je \((K_3, \cdot)\) grupoid?
Jak vidíme z Cayleyho tabulky, je operace \(\cdot\) na množině \(K_3\) uzavřená a tedy \((K_3, \cdot)\) je grupoid.
Komutativita
Vidíme, že tabulka je symetrická podle hlavní diagonály. Operace násobení na množině \(K_3\) je tedy komutativní.
Asociativita
Z Cayleyho tabulky nelze asociativita přímo potvrdit. Nicméně víme, že násobení je na množině komplexních čísel asociativní a tudíž i operace násobení na \(K_3\) je asociativní (analogickou úvahou by šla ověřit i komutativita).
Neutrální prvek
Hledáme takový prvek, jehož řádek je shodný s prvním řádkem tabulky a zároveň jehož sloupec je shodný s prvním sloupcem tabulky. Toto splňuje prvek \(1\) a je tedy prvkem neutrálním (toto je zřejmé, protože násobení číslem \(1\) nemění původní číslo).
Symetrický prvek
Vzájemně inverzní prvky mají v místě průsečíku neutrální prvek. Protože se neutrální prvek nachází v každém řádku i sloupci, máme potvrzenu existenci symetrického prvku ke každému prvku \(K_3\).
Konkrétně k
\(1\) je symetrickým prvkem \(1\)
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) je symetrickým prvkem \(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) je symetrickým prvkem \(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\)