Cvičení 3 (9. 10. 2023)#
Příklad 1#
Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{R},+)\).
Zobrazit řešení
Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall a,b\in \mathbb{R}:\, a+b=b+a\)
Víme, že u sčítání nezáleží na pořadí a proto uvedená rovnost platí. Můžeme tedy říct, že grupoid \((\mathbb{R},+)\) je komutativní.
Asociativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\, (a+b)+c=a+(b+c)\)
Opět víme, že u sčítání nezáleží na uzávorkování (a při výpočtech tuto vlastnost často využíváme pro usnadnění výpočtů). Můžeme proto říct, že vyšetřovaný grupoid je asociativní a tedy se jedná o pologrupu. Navíc protože jsme ověřili komutativitu, jedná se o Abelovskou pologrupu.
Neutrální prvek
Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek \(e\), tj.
\(\exists e\in \mathbb{R}, \forall a\in\mathbb{R}\: a+e=a=e+a\).
Je tedy třeba najít takové \(e\), které splňuje jak rovnost \(a+e=a\) tak rovnost \(e+a=a\) pro každé \(a\in\mathbb{R}\). My jsme ovšem dokázali, že operace \(+\) je komutativní a proto stačí dokázat pouze jednu z rovností (druhá plyne z komutativity).
Hledáme tedy takové reálné číslo \(e\), které když přičteme k číslu \(a\), dostaneme opět \(a\). Z toho plyne, že \(e=0\) (je zřejmé, že \(a+0=a\)). Můžeme tedy říct, že v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek a je roven \(0\) (není třeba ověřovat, zda neexistuje ještě jiný neutrální prvek, protože Věta 3.1 jasně říká, že v každém grupoidu může existovat nejvýše jeden neutrální prvek).
Symetrický prvek
Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z \(\mathbb{R}\) existuje symetrický prvek, tj.
\(\forall a\in\mathbb{R}\, \exists a^*\in\mathbb{R}:\, a+a^*=e=a^*+a\).
Stejně jako v minulém kroku nebude třeba díky komutativitě dokazovat obě rovnosti.
Naším úkolem je tedy najít způsob, jak pro libovolné \(a\) určit jeho symetrický prvek:
Protože \(a+a^*=e\), můžeme psát \(a+a^*=0\). Jednoduchou úpravou dostáváme, že \(a^*=-a\) a našli jsme tedy předpis pro symetrické prvky. Symetrický prvek k číslu \(a\) je tedy vždy číslo opačné (vynásobené číslem \(-1\)). Dokázali jsme tedy, že pro každý prvek \(a\) existuje v naší Abelovské pologrupě i prvek symetrický.
Ověřili jsme tedy všechny vlastnosti a můžeme tedy říct, že \((\mathbb{R},+)\) je Abelovskou grupou.
Příklad 2#
Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{R},\triangle)\), kde \(\forall a,b \in \mathbb{R}: a\triangle b = a+ab+b\).
Zobrazit řešení
Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall x, y\in \mathbb{R}:\, x\triangle y=y\triangle x\)
\(x\triangle y=x+x y +y =y +y x +x = y \triangle x\)
Pří úpravě jsme využili toho, že u sčítání nezáleží na pořadí (prohodili jsme sčítance \(x\) a \(y\)). Stejně tak u násobení nezáleží na pořadí a proto jsme prohodily činitele \(x\) a \(y\) (tj. \(x y = y x\)).
Máme tedy komutativní grupoid.
Asociativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall x, y, z \in \mathbb{R}:\, (x\triangle y)\triangle z=x\triangle (y\triangle z)\)
\((x\triangle y)\triangle z=\) \((x+xy+y)\triangle z =\) \((x+xy+y)+(x+xy+y)z+z=\) \(x+xy+y+xz+xyz+yz+z =\) \(x+x(y+z+yz)+y+yz+z=\) \(x+x(y+yz+z)+(y+yz+z)+x\triangle (y+yz+z)=\) \(x\triangle (y\triangle z)\).
V tomto kroku bylo jen třeba správně přeskládat jednotlivé členy výrazu. Pokud byste při úpravách nevěděli jak dál, je vhodné si rozepsat jak výraz \((x\triangle y)\triangle z\) tak výraz \(x\triangle (y\triangle z)\). Pak by již mělo být snadné dohlédnout, jak postupovat při úpravách.
Jedná se tedy o Abelovskou pologrupu.
Neutrální prvek
Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek \(e\), tj.
\(\exists e\in \mathbb{R}, \forall a\in\mathbb{R}\: a\triangle e=a=e\triangle a\).
Protože je naše pologrupa komutativní, stačí opět vyšetřit pouze jednu z rovností:
\(a\triangle e=a\). Toto si rozepíšeme: \(a\triangle e=a+ae+e=a\) a řešíme tedy rovnici:
\(a+ae+e=a\)
\(ae+e=0\)
\(e(a+1)=0\)
\(e=0\)
Neutrální prvek \(e\) je tedy roven \(0\)
Symetrický prvek
Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z \(\mathbb{R}\) existuje symetrický prvek, tj.
\(\forall a\in\mathbb{R}\, \exists a^*\in\mathbb{R}:\, a\triangle a^*=e=a^*\triangle a\).
Stejně jako v minulém kroku stačí díky komutativitě dokázat jednu z rovností:
\(a\triangle a^*=a+a a^*+a^*=0\) a řešíme tedy rovnici
\(a+a a^*+a^*=0\)
\(a a^*+a^*=-a\)
\(a^*(a+1)=-a\)
\(a^*=\frac{-a}{a+1}\)
Vypadáto tedy, že jsme nalezli vzorec pro určení symetrického prvku k libovolnému prvku \(a\in\mathbb{R}\) a tedy, že \((\mathbb{R},\triangle)\) je Abelovská grupa. Bohužel toto není pravda, protože pokud bychom hledali symetrický prvek k \(a=-1\), narazili bychom na \(a^*=\frac{1}{0}\), což nemá řešení (a tedy symetrický prvek k \(-1\) neexistuje). Dokázali jsme tedy, že symetrický prvek neexistuje ke každému \(a\in\mathbb{R}\).
Z výše uvedeného plyne, že \((\mathbb{R},\triangle)\) je komutativní monoid.
Příklad 3#
Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{N} , \vee)\), kde \(\forall a, b \in \mathbb{N}: a\vee b = \max\lbrace a, b\rbrace\).
Zobrazit řešení
Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall a, b\in \mathbb{N}:\, a\vee b=b\vee a\)
\(a\vee b=\) \(\max\lbrace a, b\rbrace=\) \(\max\lbrace b, a\rbrace=\) \(b\vee a\)
Při výpočtu maxima nezáleži na pořadí prvků (to plyne i z toho, že \(\lbrace a, b \rbrace\) je množina a ta není uspořádaná). Operace \(\vee\) je tedy komutativní.
Máme tedy komutativní grupoid.
Asociativita
Je třeba ověřit, že
\(\forall a, b, c \in \mathbb{N}:\, (a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)\)
\((a\vee b)\vee c=\) \(\max\lbrace a, b\rbrace \vee c =\) \(\max \lbrace \max\lbrace a, b\rbrace,c \rbrace=\) \(\max\lbrace a,b,c\rbrace=\) \(\max\lbrace a, \max\lbrace b, c\rbrace \rbrace=\) \(a\vee(b\vee c)\)
Využili jsme toho, ze \(\max \lbrace \max \lbrace a,b\rbrace,c\rbrace\) lze zapsat jako \(\max\lbrace a, b, c\rbrace\), protože to výsledek neovlivní (je jedno jestli nejprve vybere vetší ze dvou prvků a následně hledáme větší z výsledku a třetího prvku nebo rovnou hledáme maximum ze všech tří prvků).
Jedná se tedy o Abelovskou pologrupu.
Neutrální prvek
Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek \(e\), tj.
\(\exists e\in \mathbb{N}, \forall a\in\mathbb{N}\: a\vee e=a=e\vee a\).
Protože je naše pologrupa komutativní, stačí opět vyšetřit pouze jednu z rovností:
Rozepíšeme si tedy \(a\vee e=\max\lbrace a, e\rbrace=a\).
Hledáme tedy nejmenší možný prvek množiny \(\mathbb{N}\), protože ten nám zaručí, že maximum z libovolného prvku \(a\) a z tohoto nejmenšího prvku v množine \(\mathbb{N}\) bude vždy \(a\). Jednotkový prvek \(e\) je tedy roven \(1\).
Symetrický prvek
Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z \(\mathbb{N}\) existuje symetrický prvek, tj.
\(\forall a\in\mathbb{N}\, \exists a^*\in\mathbb{R}:\, a\vee a^*=e=a^*\vee a\).
Stejně jako v minulém kroku stačí díky komutativitě dokázat jednu z rovností:
\(a\vee a^*=\max\lbrace a, a^*\rbrace=1\).
Je zřejmé, že \(\max\lbrace a, b\rbrace=1\) pro \(a,b\in\mathbb{N}\) pouze tehdy, když \(a=b=1\). V jiných případech tato rovnost nemůže platit (např. pokud \(a=5\), neexistuje takový prvek \(b\) aby platilo, že výsledek maxima bude menší než \(5\), natož aby byl roven \(1\)). Dokázali jsme tedy, že symetrický prvek neexistuje ke každému \(a\in\mathbb{N}\).
Z výše uvedeného plyne, že \((\mathbb{R},\triangle)\) je komutativní monoid.