{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Cvičení 3 (9. 10. 2023)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},+)$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:\n",
    "\n",
    "* **Komutativita** \n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall a,b\\in \\mathbb{R}:\\, a+b=b+a$\n",
    "\n",
    "Víme, že u sčítání nezáleží na pořadí a proto uvedená rovnost platí. Můžeme tedy říct, že grupoid $(\\mathbb{R},+)$ je *komutativní*.\n",
    "\n",
    "* **Asociativita**\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall a,b,c \\in \\mathbb{R}:\\, (a+b)+c=a+(b+c)$\n",
    "\n",
    "Opět víme, že u sčítání nezáleží na uzávorkování (a při výpočtech tuto vlastnost často využíváme pro usnadnění výpočtů). Můžeme proto říct, že vyšetřovaný grupoid je asociativní a tedy se jedná o *pologrupu*. Navíc protože jsme ověřili komutativitu, jedná se o *Abelovskou pologrupu*.\n",
    "\n",
    "* **Neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek $e$, tj.\n",
    "\n",
    "$\\exists e\\in \\mathbb{R}, \\forall a\\in\\mathbb{R}\\: a+e=a=e+a$.\n",
    "\n",
    "Je tedy třeba najít takové $e$, které splňuje jak rovnost $a+e=a$ tak rovnost $e+a=a$ pro každé $a\\in\\mathbb{R}$. My jsme ovšem dokázali, že operace $+$ je komutativní a proto stačí dokázat pouze jednu z rovností (druhá plyne z komutativity).\n",
    "\n",
    "Hledáme tedy takové reálné číslo $e$, které když přičteme k číslu $a$, dostaneme opět $a$. Z toho plyne, že $e=0$ (je zřejmé, že $a+0=a$). Můžeme tedy říct, že v naší Abelovské pologrupě existuje *neutrální prvek* a je roven $0$ (není třeba ověřovat, zda neexistuje ještě jiný neutrální prvek, protože Věta 3.1 jasně říká, že v každém grupoidu může existovat nejvýše jeden neutrální prvek).\n",
    "\n",
    "* **Symetrický prvek**\n",
    "\n",
    "Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z $\\mathbb{R}$ existuje symetrický prvek, tj.\n",
    "\n",
    "$\\forall a\\in\\mathbb{R}\\, \\exists a^*\\in\\mathbb{R}:\\, a+a^*=e=a^*+a$.\n",
    "\n",
    "Stejně jako v minulém kroku nebude třeba díky komutativitě dokazovat obě rovnosti.\n",
    "\n",
    "Naším úkolem je tedy najít způsob, jak pro libovolné $a$ určit jeho symetrický prvek:\n",
    "\n",
    "Protože $a+a^*=e$, můžeme psát $a+a^*=0$. Jednoduchou úpravou dostáváme, že $a^*=-a$ a našli jsme tedy předpis pro symetrické prvky. Symetrický prvek k číslu $a$ je tedy vždy číslo opačné (vynásobené číslem $-1$). Dokázali jsme tedy, že pro každý prvek $a$ existuje v naší Abelovské pologrupě i prvek symetrický.\n",
    "\n",
    "* Ověřili jsme tedy všechny vlastnosti a můžeme tedy říct, že $(\\mathbb{R},+)$ je *Abelovskou grupou*.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},\\triangle)$, kde $\\forall a,b \\in \\mathbb{R}: a\\triangle b = a+ab+b$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:\n",
    "\n",
    "* **Komutativita** \n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall x, y\\in \\mathbb{R}:\\, x\\triangle y=y\\triangle x$\n",
    "\n",
    "$x\\triangle y=x+x y +y =y +y x +x = y \\triangle x$\n",
    "\n",
    "Pří úpravě jsme využili toho, že u sčítání nezáleží na pořadí (prohodili jsme sčítance $x$ a $y$). Stejně tak u násobení nezáleží na pořadí a proto jsme prohodily činitele $x$ a $y$ (tj. $x y = y x$).\n",
    "\n",
    "Máme tedy komutativní grupoid.\n",
    "\n",
    "* **Asociativita**\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall x, y, z \\in \\mathbb{R}:\\, (x\\triangle y)\\triangle z=x\\triangle (y\\triangle z)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "$(x\\triangle y)\\triangle z=$ $(x+xy+y)\\triangle z =$ $(x+xy+y)+(x+xy+y)z+z=$ $x+xy+y+xz+xyz+yz+z =$ $x+x(y+z+yz)+y+yz+z=$ $x+x(y+yz+z)+(y+yz+z)+x\\triangle (y+yz+z)=$ $x\\triangle (y\\triangle z)$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "V tomto kroku bylo jen třeba správně přeskládat jednotlivé členy výrazu. Pokud byste při úpravách nevěděli jak dál, je vhodné si rozepsat jak výraz $(x\\triangle y)\\triangle z$ tak výraz $x\\triangle (y\\triangle z)$. Pak by již mělo být snadné dohlédnout, jak postupovat při úpravách.\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o Abelovskou pologrupu.\n",
    "\n",
    "* **Neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek $e$, tj.\n",
    "\n",
    "$\\exists e\\in \\mathbb{R}, \\forall a\\in\\mathbb{R}\\: a\\triangle e=a=e\\triangle a$.\n",
    "\n",
    "Protože je naše pologrupa komutativní, stačí opět vyšetřit pouze jednu z rovností:\n",
    "\n",
    "$a\\triangle e=a$. Toto si rozepíšeme: $a\\triangle e=a+ae+e=a$ a řešíme tedy rovnici:\n",
    "\n",
    " $a+ae+e=a$\n",
    " \n",
    " $ae+e=0$\n",
    " \n",
    " $e(a+1)=0$\n",
    "\n",
    "$e=0$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Neutrální prvek $e$ je tedy roven $0$\n",
    "\n",
    "\n",
    "* **Symetrický prvek**\n",
    "\n",
    "Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z $\\mathbb{R}$ existuje symetrický prvek, tj.\n",
    "\n",
    "$\\forall a\\in\\mathbb{R}\\, \\exists a^*\\in\\mathbb{R}:\\, a\\triangle a^*=e=a^*\\triangle a$.\n",
    "\n",
    "Stejně jako v minulém kroku stačí díky komutativitě dokázat jednu z rovností:\n",
    "\n",
    "$a\\triangle a^*=a+a a^*+a^*=0$ a řešíme tedy rovnici\n",
    "\n",
    "$a+a a^*+a^*=0$\n",
    "\n",
    "$a a^*+a^*=-a$\n",
    "\n",
    "$a^*(a+1)=-a$\n",
    "\n",
    "$a^*=\\frac{-a}{a+1}$\n",
    "\n",
    "Vypadáto tedy, že jsme nalezli vzorec pro určení symetrického prvku k libovolnému prvku $a\\in\\mathbb{R}$ a tedy, že  $(\\mathbb{R},\\triangle)$ je Abelovská grupa. Bohužel toto není pravda, protože pokud bychom hledali symetrický prvek k $a=-1$, narazili bychom na $a^*=\\frac{1}{0}$, což nemá řešení (a tedy symetrický prvek k $-1$ neexistuje). Dokázali jsme tedy, že symetrický prvek neexistuje ke každému $a\\in\\mathbb{R}$.\n",
    "\n",
    "* Z výše uvedeného plyne, že  $(\\mathbb{R},\\triangle)$ je *komutativní monoid*.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{N} , \\vee)$, kde $\\forall a, b \\in \\mathbb{N}: a\\vee b = \\max\\lbrace a, b\\rbrace$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:\n",
    "\n",
    "* **Komutativita** \n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall a, b\\in \\mathbb{N}:\\, a\\vee b=b\\vee a$\n",
    "\n",
    "$a\\vee b=$ $\\max\\lbrace a, b\\rbrace=$ $\\max\\lbrace b, a\\rbrace=$ $b\\vee a$\n",
    "\n",
    "Při výpočtu maxima nezáleži na pořadí prvků (to plyne i z toho, že $\\lbrace a, b \\rbrace$ je množina a ta není uspořádaná). Operace $\\vee$ je tedy komutativní.\n",
    "\n",
    "Máme tedy komutativní grupoid.\n",
    "\n",
    "* **Asociativita**\n",
    "\n",
    "Je třeba ověřit, že \n",
    "\n",
    "$\\forall a, b, c \\in \\mathbb{N}:\\, (a\\vee b)\\vee c=a\\vee (b\\vee c)$\n",
    "\n",
    "\n",
    "$(a\\vee b)\\vee c=$ $\\max\\lbrace a, b\\rbrace \\vee c =$ $\\max \\lbrace \\max\\lbrace a, b\\rbrace,c \\rbrace=$ $\\max\\lbrace a,b,c\\rbrace=$ $\\max\\lbrace a, \\max\\lbrace b, c\\rbrace \\rbrace=$ $a\\vee(b\\vee c)$\n",
    "\n",
    "Využili jsme toho, ze $\\max \\lbrace \\max \\lbrace a,b\\rbrace,c\\rbrace$ lze zapsat jako $\\max\\lbrace a, b, c\\rbrace$, protože to výsledek neovlivní (je jedno jestli nejprve vybere vetší ze dvou prvků a následně hledáme větší z výsledku a třetího prvku nebo rovnou hledáme maximum ze všech tří prvků).\n",
    "\n",
    "Jedná se tedy o Abelovskou pologrupu.\n",
    "\n",
    "* **Neutrální prvek**\n",
    "\n",
    "Nyní je třeba zjistit, jestli v naší Abelovské pologrupě existuje neutrální prvek $e$, tj.\n",
    "\n",
    "$\\exists e\\in \\mathbb{N}, \\forall a\\in\\mathbb{N}\\: a\\vee e=a=e\\vee a$.\n",
    "\n",
    "Protože je naše pologrupa komutativní, stačí opět vyšetřit pouze jednu z rovností:\n",
    "\n",
    "Rozepíšeme si tedy $a\\vee e=\\max\\lbrace a, e\\rbrace=a$.\n",
    "\n",
    "Hledáme tedy nejmenší možný prvek množiny $\\mathbb{N}$, protože ten nám zaručí, že maximum z libovolného prvku $a$ a z tohoto nejmenšího prvku v množine $\\mathbb{N}$ bude vždy $a$. Jednotkový prvek $e$ je tedy roven $1$. \n",
    "\n",
    "\n",
    "* **Symetrický prvek**\n",
    "\n",
    "Poslední co musíme ověřit je, zda ke každému prvku z $\\mathbb{N}$ existuje symetrický prvek, tj.\n",
    "\n",
    "$\\forall a\\in\\mathbb{N}\\, \\exists a^*\\in\\mathbb{R}:\\, a\\vee a^*=e=a^*\\vee a$.\n",
    "\n",
    "Stejně jako v minulém kroku stačí díky komutativitě dokázat jednu z rovností:\n",
    "\n",
    "$a\\vee a^*=\\max\\lbrace a, a^*\\rbrace=1$.\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že $\\max\\lbrace a, b\\rbrace=1$ pro $a,b\\in\\mathbb{N}$ pouze tehdy, když $a=b=1$. V jiných případech tato rovnost nemůže platit (např. pokud $a=5$, neexistuje takový prvek $b$ aby platilo, že výsledek maxima bude menší než $5$, natož aby byl roven $1$). Dokázali jsme tedy, že symetrický prvek neexistuje ke každému $a\\in\\mathbb{N}$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "* Z výše uvedeného plyne, že  $(\\mathbb{R},\\triangle)$ je *komutativní monoid*.\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Maxima",
   "language": "maxima",
   "name": "maxima"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": "maxima",
   "file_extension": ".mac",
   "mimetype": "text/x-maxima",
   "name": "maxima",
   "pygments_lexer": "maxima",
   "version": "branch_5_47_base_381_g45973baf2"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}