Kapitola 2 - Základní poznatky o grupoidech#
Teorie#
Definice 2
Nechť \(A\neq\emptyset\) a nechť \(*_1,*_2,\dots,*_n\) jsou (binární) operace na \(A\). Uspořádanou \((n+1)\)-tici \((A,*_1,*_2,\dots,*_n)\) nazveme (binární) algebrou (nebo algebraickou strukturou). Množinu \(A\) nazveme nosičem dané algebry a o operacích \(*_1,*_2,\dots,*_n\) říkáme, že jsou operacemi na dané algebře.
Definice 3
Algebru \((A,*)\) s jednou binární operací nazveme grupoid.
Definice 4
Nechť \((G,\circ)\) a \((H,\triangle)\) jsou gropoidy. Grupoid \((G \times H, *)\), jehož operace \(*\) je dána rovností \((a,b)*(c,d)=(a\circ c, b\triangle d)\) nazveme přímý součin grupoidu \((G,\circ)\) a grupoidu \((H,\triangle)\).
Věta 6
Nechť \((G,\circ)\) a \((H,\triangle)\) jsou grupoidy a \((G\times H,*)\) je jejich přímý součin. Pak
a) pokud jsou operace \(\circ\) a \(\triangle\) komutativní (asociativní), pak i operace \(*\) je komutativní (asociativní),
b) pokud \(e_1\) je neutrální prvek grupoidu \(G\) a \(e_2\) je neutrální prvek grupoidu \(H\), pak \((e_1, e_2)\) je neutrální prvek grupoidu \(G\times H\),
c) pokud k prvku \(a\in G\) existuje inverzní prvek \(b \in G\) (vzhledem k operaci \(\circ\)) a k prvku \(c\in H\) existuje inverzní prvek \(d\in H\) (vzhledem k operaci \(\triangle\)), pak prvek \((b,d)\in G\times H\) je inverzní k prvku \((a,c)\in G\times H\) (vzhledem k operaci \(*\)).
Definice 5
Nechť \((A,*)\) je grupoid. Pokud neprázdná podmnožina \(B\) množiny \(A\) spolu se zúžením operace \(*\) na množinu \(B\) je grupoid, tj. pokud platí
pak řekneme, že \((B,*)\) je podgrupoidem grupoidu \((A,*)\)
Věta 7
Pokud je grupoid asociativní (komutativní), pak je asociativní (komutativní) i jeho podgrupoid. Pokud má grupoid neutrální prvek, pak je tento neutrální prvek neutrálním prvkem každého podgrupoidu, který ho obsahuje.
Lemma 1
Nechť \((A,*)\) je grupoid a nechť \(\{(B_j,*)|j\in J\}\) je systém jeho podgrupoidů. Pokud \(B = \bigcap\limits_{j\in J} B_j \neq \emptyset\), potom i \((B,*)\) je podgrupid grupoidu \((A,*)\).
Věta 8
Nechť \((A,*)\) je grupoid a nechť \(M\) je neprázdná podmnožina množiny \(A\). Potom existuje právě jeden podgrupoid \([M]\) grupoidu \((A,*)\), pro který platí:
a) \(M \subseteq [M]\),
b) pokud \(H\) je libovolný podgrupoid grupoidu \(A\), který obsahuje množinu \(M\), pak \([M]\subseteq H\).
Definice 6
Nechť \((A,*)\) je grupoid a nechť \(M\) je neprázdná podmnožina množiny \(A\). Nejmneší podgrupoid \([M]\) grupoidu \((A,*)\) obsahující množinu \(M\) budeme nazývat podgrupoid generovaný množinou \(M\).
Definice 7
Nechť \((A,*)\) je grupoid. Pokud pro libovolné prvky \(a, b, c\in A\) platí
\(a*b = a*c \Rightarrow b=c,\)
\(b*a = c*a \Rightarrow b=c,\)
pak říkáme, že v grupoidu \((A,*)\) platí zákony o krácení.
Definice 8
Grupoidu, jehož operace je asociativní, nazveme pologrupou. Pokud má navíc pologrupa neutrální prvek, říkáme jí monoid.
Definice 9
Monoid \((A,*)\), k jehož každému prvku existuje inverzní prvek se nazývá grupa. Pokud je operace \(*\) komutativní, nazveme grupu Abelovskou grupou.
Grupoid \((G,*)\) je tedy grupou, jestliže:
\(\forall a, b, c \in G: (a*b)*c = a*(b*c),\)
\(\exists e\in G \;\forall a \in G: a*e = a = e*a,\)
\(\forall a\in G \; \exists a' \in G: a*a' = a'*a=e\).
Poznámka 1
Protože binární operace může mít nejvýše jeden neutrální prvek, je neutrální prvek grupy určený jednoznačně. A protože operace grupy je asociativní, existuje ke každému prvku grupy právě jeden inverzní prvek.
Poznámka 2
V obecných úvahách často označujeme operaci grupy multiplikativně „\(\cdot\)“ a od toho odvozujeme označení inverzního prvku k prvku \(a\): opačný prvek \(a^{-1}\) (neutrální prvek označujeme zpravidla písmenem \(e\) a říkáme mu prvek jednotkový).
U komutativních grup někdy operaci označujeme aditivně \(+\), neutrální prvek se nazývá nulovým prvkem (často značíme „0“) a inverzní prvek k \(a\) nazveme opačným prvkem a značíme \(-a\).
Věta 9
V každé grupě \((G, \cdot)\) platí zákony o krácení.
Věta 10
Nechť \((G, \cdot)\) je grupa. Potom pro libovolné prvky \(a, b \in G\) platí:
a) \((a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}\),
b) \((a^{-1})^{-1}=a\).
Definice 10
Pokud je podgrupoid grupy \(G\) grupou, nazýváme ho podgrupou grupy \(G\).
Věta 11
Nechť \(H\) je neprázdná podmnožina grupy \(G\). \(H\) je podgrupou grupy \(G\) právě tehdy, když platí:
Věta 12
Nechť \((G, \cdot)\) je grupa a nechť \(\lbrace H_j | j\in J \rbrace\) je systém jejich podgrup. Pokud \(H=\bigcap\limits_{j\in J} H_j\), pak \((H, \cdot)\) je podgrupa grupy \((G,\cdot)\).
Věta 13
V grupě \((G, \cdot)\) má každá z rovnic \(a\cdot x = b, y\cdot a = b\), kde \(a, b \in G\) a \(x, y\) jsou neznámé, jediné řešení (tj. pro každé dva prvky \(a, b \in G\) existuje jediný prvek \(x_0\in G\) a jediný prvek \(y_0 \in G\) takový, že \(a\cdot x_0 = b, y_0 \cdot a = b\)).
Poznámka 3
Pokud je grupa \((G, \cdot)\) komutativní, pak mají obě rovnice z předchozí věty stejné řešení.