{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "4a2db9a5", "metadata": {}, "source": [ "# Kapitola 2 - Základní poznatky o grupoidech" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "ebb9ed50", "metadata": {}, "source": [ "## Teorie" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e763b551", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Nechť $A\\neq\\emptyset$ a nechť $*_1,*_2,\\dots,*_n$ jsou (binární) operace na $A$. Uspořádanou $(n+1)$-tici $(A,*_1,*_2,\\dots,*_n)$ nazveme *(binární) algebrou* (nebo *algebraickou strukturou*). Množinu $A$ nazveme *nosičem* dané algebry a o operacích $*_1,*_2,\\dots,*_n$ říkáme, že jsou operacemi na dané algebře.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e8655250", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Algebru $(A,*)$ s jednou binární operací nazveme *grupoid*.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "3f3044f4", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Nechť $(G,\\circ)$ a $(H,\\triangle)$ jsou gropoidy. Grupoid $(G \\times H, *)$, jehož operace $*$ je dána rovností $(a,b)*(c,d)=(a\\circ c, b\\triangle d)$ nazveme *přímý součin grupoidu $(G,\\circ)$ a grupoidu $(H,\\triangle)$*.\n", "```\n", "\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "d8415e59", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Nechť $(G,\\circ)$ a $(H,\\triangle)$ jsou grupoidy a $(G\\times H,*)$ je jejich přímý součin. Pak\n", "\n", "a) pokud jsou operace $\\circ$ a $\\triangle$ komutativní (asociativní), pak i operace $*$ je komutativní (asociativní),\n", "\n", "b) pokud $e_1$ je neutrální prvek grupoidu $G$ a $e_2$ je neutrální prvek grupoidu $H$, pak $(e_1, e_2)$ je neutrální prvek grupoidu $G\\times H$,\n", "\n", "c) pokud k prvku $a\\in G$ existuje inverzní prvek $b \\in G$ (vzhledem k operaci $\\circ$) a k prvku $c\\in H$ existuje inverzní prvek $d\\in H$ (vzhledem k operaci $\\triangle$), pak prvek $(b,d)\\in G\\times H$ je inverzní k prvku $(a,c)\\in G\\times H$ (vzhledem k operaci $*$). \n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a7267e0c", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", ":label: podgrupoid\n", "Nechť $(A,*)$ je grupoid. Pokud neprázdná podmnožina $B$ množiny $A$ spolu se zúžením operace $*$ na množinu $B$ je grupoid, tj. pokud platí\n", "\n", "$$\\forall a,b\\in B: a * b \\in B,$$\n", "\n", "pak řekneme, že $(B,*)$ je *podgrupoidem* grupoidu $(A,*)$\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "bbff41a8", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Pokud je grupoid asociativní (komutativní), pak je asociativní (komutativní) i jeho podgrupoid. Pokud má grupoid neutrální prvek, pak je tento neutrální prvek neutrálním prvkem každého podgrupoidu, který ho obsahuje.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a18ec202", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:lemma}\n", "Nechť $(A,*)$ je grupoid a nechť $\\{(B_j,*)|j\\in J\\}$ je systém jeho podgrupoidů. Pokud $B = \\bigcap\\limits_{j\\in J} B_j \\neq \\emptyset$, potom i $(B,*)$ je podgrupid grupoidu $(A,*)$. \n", "``` " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "25a8e2cc", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Nechť $(A,*)$ je grupoid a nechť $M$ je neprázdná podmnožina množiny $A$. Potom existuje právě jeden podgrupoid $[M]$ grupoidu $(A,*)$, pro který platí:\n", "\n", "a) $M \\subseteq [M]$,\n", "\n", "b) pokud $H$ je libovolný podgrupoid grupoidu $A$, který obsahuje množinu $M$, pak $[M]\\subseteq H$. \n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "0b9f32fd", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Nechť $(A,*)$ je grupoid a nechť $M$ je neprázdná podmnožina množiny $A$. Nejmneší podgrupoid $[M]$ grupoidu $(A,*)$ obsahující množinu $M$ budeme nazývat podgrupoid generovaný množinou $M$.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a42a1710", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Nechť $(A,*)$ je grupoid. Pokud pro libovolné prvky $a, b, c\\in A$ platí\n", "\n", "1) $a*b = a*c \\Rightarrow b=c,$\n", "\n", "2) $b*a = c*a \\Rightarrow b=c,$\n", "\n", "pak říkáme, že v grupoidu $(A,*)$ platí zákony o krácení.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5a57618b", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Grupoidu, jehož operace je asociativní, nazveme *pologrupou*. Pokud má navíc pologrupa neutrální prvek, říkáme jí *monoid*.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a86c7958", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Monoid $(A,*)$, k jehož každému prvku existuje inverzní prvek se nazývá *grupa*. Pokud je operace $*$ komutativní, nazveme grupu *Abelovskou grupou*.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "a78a1ae0", "metadata": {}, "source": [ "Grupoid $(G,*)$ je tedy grupou, jestliže:\n", "\n", "1) $\\forall a, b, c \\in G: (a*b)*c = a*(b*c),$\n", "\n", "2) $\\exists e\\in G \\;\\forall a \\in G: a*e = a = e*a,$\n", "\n", "3) $\\forall a\\in G \\; \\exists a' \\in G: a*a' = a'*a=e$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "f2bacfcf", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:remark}\n", "Protože binární operace může mít nejvýše jeden neutrální prvek, je neutrální prvek grupy určený jednoznačně. A protože operace grupy je asociativní, existuje ke každému prvku grupy právě jeden inverzní prvek.\n", "``` " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "6cf63eb7", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:remark}\n", "V obecných úvahách často označujeme operaci grupy **multiplikativně** \"$\\cdot$\" a od toho odvozujeme označení inverzního prvku k prvku $a$: opačný prvek $a^{-1}$ (neutrální prvek označujeme zpravidla písmenem $e$ a říkáme mu prvek jednotkový).\n", "\n", "U komutativních grup někdy operaci označujeme **aditivně** $+$, neutrální prvek se nazývá nulovým prvkem (často značíme \"0\") a inverzní prvek k $a$ nazveme opačným prvkem a značíme $-a$.\n", "``` " ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "fa5a985d", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "V každé grupě $(G, \\cdot)$ platí zákony o krácení.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4e5bd5cc", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Nechť $(G, \\cdot)$ je grupa. Potom pro libovolné prvky $a, b \\in G$ platí:\n", "\n", "a) $(a\\cdot b)^{-1} = b^{-1}\\cdot a^{-1}$,\n", "\n", "b) $(a^{-1})^{-1}=a$.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9533c238", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:definition}\n", "Pokud je podgrupoid grupy $G$ grupou, nazýváme ho podgrupou grupy $G$.\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "e192a67f", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Nechť $H$ je neprázdná podmnožina grupy $G$. $H$ je podgrupou grupy $G$ právě tehdy, když platí:\n", "\n", "$$\\forall a, b\\in H: a \\cdot b^{-1} \\in H.$$\n", "\n", "\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c541803a", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "Nechť $(G, \\cdot)$ je grupa a nechť $\\lbrace H_j | j\\in J \\rbrace$ je systém jejich podgrup. Pokud $H=\\bigcap\\limits_{j\\in J} H_j$, pak $(H, \\cdot)$ je podgrupa grupy $(G,\\cdot)$.\n", "\n", "\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "874c9984", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:theorem}\n", "V grupě $(G, \\cdot)$ má každá z rovnic $a\\cdot x = b, y\\cdot a = b$, kde $a, b \\in G$ a $x, y$ jsou neznámé, jediné řešení (tj. pro každé dva prvky $a, b \\in G$ existuje jediný prvek $x_0\\in G$ a jediný prvek $y_0 \\in G$ takový, že $a\\cdot x_0 = b, y_0 \\cdot a = b$). \n", "\n", "\n", "```" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "7a05a925", "metadata": {}, "source": [ "```{prf:remark}\n", "Pokud je grupa $(G, \\cdot)$ komutativní, pak mají obě rovnice z předchozí věty stejné řešení.\n", "``` " ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.11.6" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }