Cvičení 5 (23. 10. 2023)#
Příklad 1#
Nechť \(A=\lbrace 1, 2\rbrace\). Napište operační tabulku (Cayleyho tabulku) grupoidu \((A^A,\circ)\) a určete jeho vlastnosti.
Zobrazit řešení
Nejprve je třeba si všimnout, že operace \(\circ\) je definovaná na \(A^A\), což je systém všech zobrazení \(A \to A\). Prvky grupoidu tedy budou tvořit funkce, ne čísla \(1\) a \(2\), která leží v množině \(A\). Operace \(\circ\) pak značí skládání funkcí.
Musíme tedy najít všechny funkce \(f\) pro které platí \(f: A \to A\). Hledáme tedy takové funkce \(f(x)\), které jsou definované pro \(x=1\) a \(x=2\) a pro které platí, že \(f(x)=1\) nebo \(f(x)=2\).
Jednotlivé funkce si vypíšeme
\(f_1(x)=x\), tj. \(f_1(1)=1\) a \(f_1(2) = 2\) - tato funkce zachovává původní vstup (identita),
\(f_2(x)=3-x\), tj. \(f_2(1)=2\) a \(f_2(2)=1\) - tato funkce vrací vždy druhý prvek z množiny \(A\),
\(f_3(x)=1\), tj. \(f_3(1)=1\) a \(f_3(2)=1\) - tato funkce vrácí vždy prvek \(1\),
\(f_4(x)=2\), tj. \(f_4(1)=2\) a \(f_4(2)=2\) - tato funkce vrácí vždy prvek \(2\).
Vypsali jsme všechny možné funkce z \(A\) do \(A\) a můžeme tedy sestrojit Cayleyho tabulku. Prvky tabulky budeme zjišťovat postupně pomocí operace \(\circ\). Uvedeme si několik příkladů:
\((f_1 \circ f_1) (x) = \) \(f_1 (f_1 (x)) = \) \(f_1 (x)\),
\((f_1 \circ f_2) (x) = \) \(f_1 (f_2 (x)) = \) \(f_1 (3-x)=\) \(3-x=\) \(f_2 (x)\),
\((f_2 \circ f_2) (x) = \) \(f_2 (f_2 (x)) = \) \(f_2 (3-x)=\) \(3-(3-x)=\) \(3-3+x=\) \(x=\) \(f_1 (x)\),
\((f_1 \circ f_3) (x) = \) \(f_1 (f_3(x)) = \) \(f_1 (1)=\) \(1 =\) \(f_3(x)\),
\((f_3 \circ f_4) (x) = \) \(f_3 (f_4(x)) = \) \(f_3 (2)=\) \(1 =\) \(f_3(x)\),
\((f_4 \circ f_3) (x) = \) \(f_4 (f_3(x)) = \) \(f_4 (1)=\) \(2 =\) \(f_4(x)\).
Výsledná Cayleyho tabulka prvků:
\(\circ\) |
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
|---|---|---|---|---|
\(f_1\) |
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_2\) |
\(f_2\) |
\(f_1\) |
\(f_4\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
Nyní je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Grupoid je komutativní, pokud je Cayleyho tabulka symetrická podle hlavní diagonály. Naše tabulka symetrická není (např. \(f_3 \circ f_2 \neq f_2 \circ f_3\)) a tedy grupoid není komutativní.
Asociativita
Asociativitu nelze přímo ověřit z Cayleyho tabulky. Obecně ale víme, že skládání funkcí je asociativní a tedy náš grupoid je asociativní.
Důkaz: \(\forall f, g, h\in A^A, \forall x\in A:\)
\(((f\circ g)\circ h)(x)=\) \((f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))\),
a
\((f\circ (g\circ h))(x)=\) \(f ((g\circ h)(x))=f(g(h(x)))\),
a tedy
\(((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ h))(x)\).
Neutrální prvek
Hledáme takový prvek, jehož řádek je shodný s prvním řádkem tabulky a zároveň jehož sloupec je shodný s prvním sloupcem tabulky. Toto splňuje prvek \(f_1\) a je tedy prvkem neutrálním.
Symetrický prvek
Vzájemně symetrické prvky mají v místě průsečíku neutrální prvek. Protože se neutrální prvek nenachází v každém řádku i sloupci, je zřejmé že k některým prvkům neexistují neutrální prvky (konkrétně k prvkům \(f_3\) a \(f_4\)).
Prověřili jsme všechny vlastnosti a můžeme říct, že \((A^A , \circ)\) je monoid.
Příklad 2#
Napište operační tabulku (Cayleyho tabulku) grupoidu \((\overline{\mathbb{Z}}_{5},\oplus)\) a určete jeho vlastnosti.
Zobrazit řešení
Nejprve si rozebereme náš grupoid. Množina \(\overline{\mathbb{Z}}_{5}\) je množina zbytkových tříd modulo \(5\), tj. \(\overline{\mathbb{Z}}_{5}=\lbrace \overline 0, \overline 1, \overline 2, \overline 3 , \overline 4\rbrace\), kde
\(\lbrace \overline 0\rbrace = \lbrace \ldots -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, \ldots\rbrace\),
\(\lbrace \overline 1\rbrace = \lbrace \ldots -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16, \ldots\rbrace\),
\(\lbrace \overline 2\rbrace = \lbrace \ldots -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17, \ldots\rbrace\),
\(\lbrace \overline 3\rbrace = \lbrace \ldots -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, \ldots\rbrace\),
\(\lbrace \overline 4\rbrace = \lbrace \ldots -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, \ldots\rbrace\).
Tj. množina \(\overline{\mathbb{Z}}_{5}\) obsahuje celkem \(5\) množin, kde každá z těchto množin představuje množinu celých čísel, které jsou spolu kongruentní modulo \(5\) (mají stejný zbytek po dělení \(5\)). Například množina \(\lbrace \overline 2 \rbrace\) je množinou celých čísel, které mají po dělení \(5\) zbytek \(2\).
Neměli bychom ani zapomínat, že vzhledem ke konkruenci můžeme množinu \(\overline 0\) stejně tak označit pomocí \(\overline {5}\), \(\overline {-5}\), \(\overline {10},\cdots\)
Operace \(\oplus\) je na \(\overline{\mathbb{Z}}_{5}\) definovaná následovně: \(\overline a \oplus \overline b = \overline {a+b}\).
Nyní můžeme sestrojit Cayleyho tabulku:
\(\oplus\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 4\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(\overline 0\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 3\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 4\) |
\(\overline 0\) |
\(\overline 1\) |
\(\overline 2\) |
\(\overline 3\) |
Nyní je třeba vyšetřit jednotlivé vlastnosti grupoidu:
Komutativita
Grupoid je komutativní, pokud je Cayleyho tabulka symetrická podle hlavní diagonály. Naše tabulka symetrická je a tedy grupoid je komutativní.
Asociativita
Asociativitu nelze přímo ověřit z Cayleyho tabulky. Je tedy třeba dokázat, že operace \(\oplus\) je asociativní.
Důkaz: \(\forall a, b, c\in \overline{\mathbb{Z}}_{5}:\)
\((\overline a \oplus \overline b)\oplus \overline c =\) \(\overline {a+b}\oplus \overline c =\) \(\overline {(a+b)+c}=\) \(\overline {a+(b+c)}=\) \(\overline a \oplus \overline {b+c}=\) \(\overline a \oplus (\overline b \oplus \overline c)\).
Grupoid tedy je asociativní.
Neutrální prvek
Hledáme takový prvek, jehož řádek je shodný s prvním řádkem tabulky a zároveň jehož sloupec je shodný s prvním sloupcem tabulky. Toto splňuje prvek \(\overline 0\) a je tedy prvkem neutrálním.
Symetrický prvek
Vzájemně symetrické prvky mají v místě průsečíku neutrální prvek. Protože se neutrální prvek nachází v každém řádku i sloupci, je zřejmé že ke každému prvku existuje symetrický prvek (např. k prvku \(\overline 2\) je symetrický prvek \(\overline 3\)).
Prověřili jsme všechny vlastnosti a můžeme říct, že \((\overline{\mathbb{Z}}_{5},\oplus)\) je Abelovská grupa.
Příklad 3#
Na množině \(\mathbb{R}\setminus \lbrace 0,1\rbrace\) definujeme následující funkce:
\(f_1(x) = x\),
\(f_2(x) = \frac{1}{x}\),
\(f_3(x) = 1-x\),
\(f_4(x) = \frac{x}{x-1}\),
\(f_5(x) = \frac{x-1}{x}\),
\(f_6(x) = \frac{1}{1-x}\).
Ukažte, že \((G, \circ)\) je grupa, pokud \(G=\lbrace f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6 \rbrace\).
Zobrazit řešení
Nejprve si sestrojíme Cayleyho tabulku:
\(\circ\) |
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_5\) |
\(f_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(f_1\) |
\(f_1\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_5\) |
\(f_6\) |
\(f_2\) |
\(f_2\) |
\(f_1\) |
\(f_6\) |
\(f_5\) |
\(f_4\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_3\) |
\(f_5\) |
\(f_1\) |
\(f_6\) |
\(f_2\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
\(f_4\) |
\(f_6\) |
\(f_5\) |
\(f_1\) |
\(f_3\) |
\(f_2\) |
\(f_5\) |
\(f_5\) |
\(f_3\) |
\(f_4\) |
\(f_2\) |
\(f_6\) |
\(f_1\) |
\(f_6\) |
\(f_6\) |
\(f_4\) |
\(f_2\) |
\(f_3\) |
\(f_1\) |
\(f_5\) |
Komutativita
Grupoid je komutativní, pokud je Cayleyho tabulka symetrická podle hlavní diagonály. Naše tabulka symetrická není (např. \(f_4 \circ f_6 \neq f_6 \circ f_4\)) a tedy grupoid není komutativní.
Asociativita
Z Cayleyho tabulky nelze asociativita přímo potvrdit. V prvním přkladu tohoto cvičení jsme ale dokázali, že skládání funkcí je vždy asociativní, takže náš grupoid je asociativní.
Neutrální prvek
Hledáme takový prvek, jehož řádek je shodný s prvním řádkem tabulky a zároveň jehož sloupec je shodný s prvním řádkem tabulky. Toto splňuje prvek \(f_1\) a je tedy prvkem neutrálním.
Symetrický prvek
Vzájemně symetrické prvky mají v místě průsečíku neutrální prvek. Neutrální prvek se nachází v každém řádku i sloupci, takže by ke každému prvku měl existovat symetrický prvek.
Protože náš grupoid ale není komutativní, musíme ověřit, že je-li \(f_j\) symetrickým prvkem k \(f_i\), tj. \(f_i \circ f_j = f_1\), pak musí být zároveň \(f_i\) symetrickým prvkem k \(f_j\), tj. \(f_j \circ f_i = f_1\). Toto je v našem případě snadno ověřitelné, protože \(f_1, f_2, f_3\) a \(f_4\) jsou sami sobě symetrickými prvky, takže výše ověřené musí automaticky platit. Zbývají nám funkce \(f_5\) a \(f_6\), pro které je z Cayleyho tabulky snadno vidět, že jsou vzájemně k sobě inverzní.
Ukázali jsme tedy, že ke každému prvku z \(G\) najdeme v \(G\) symetrický prvek.
Prověřili jsme všechny vlastnosti a můžeme říct, že \((G,\circ)\) je grupa.