Kapitola 3 - Grupy

Teorie

Definice 11

Nechť \(\circ\) je binární operace na neprázdné množině \(A\). Řekneme, že \(\circ\) je na množině \(A\)

• komutatitvní, jestliže \(\forall a,b\in A:\,\, a\circ b = b\circ a\),

• asociativní, jestliže \(\forall a,b,c \in A:\,\, (a\circ b)\circ c = a\circ (b \circ c)\).

Definice 12

Algebraickou strukturu \((A,\circ)\) s jednou binární operací nazveme grupoid.

Definice 13

Pokud je operace \(\circ\) v grupoidu \((A,\circ)\) asociativní, nazveme \((A,\circ)\) pologrupou.

Definice 14

Pokud v grupoidu \((A,\circ)\) existuje prvek \(e\in A\) takový, že

\(\forall a\in A: e\circ a = a = a\circ e\),

pak se tento prvek nazývá neutrálním prvkem.

Věta 14

V každém grupoidu může existovat nejvýše jeden neutrální prvek.

Definice 15

Pologrupu ve které existuje neutrální prvek nazveme monoid.

Definice 16

Pokud v monoidu \((A,\circ)\) s neutrálním prvkem \(e\) existuje ke každému prvků \(a\) prvek \(a^{*}\) takový, že

\(a\circ a^{*}=e=a^{*}\circ a\),

pak \((A,\circ)\) nazveme \(a^*\) symetrickým prvkem k prvku \(a\).

Definice 17

Grupoid \((A,\circ)\) nazveme grupou, jestliže je operace \(\circ\) asociativní, v grupoidu existuje neutrálním prvkem \(e\) a ke každému prvku \(a\) existuje symetrický prvek \(a^{*}\), tj.

a) \(\forall a, b, c \in A: (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c),\)

b) \(\exists e\in A \;\forall a \in A: a\circ e = a = e\circ a,\)

c) \(\forall a\in A \; \exists a^{*} \in A: a\circ a^{*} = e= a^{*}\circ a\).

Pokud je navíc grupa komutatitvní, nazývá se Abelovská