{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "fa59557e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Kapitola 3 - Grupy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "6182a583",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Teorie"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "bc7edcc7",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Nechť $\\circ$ je binární operace na neprázdné množině $A$. Řekneme, že $\\circ$ je na množině $A$\n",
    "\n",
    "* *komutatitvní*, jestliže $\\forall a,b\\in A:\\,\\, a\\circ b = b\\circ a$,\n",
    "\n",
    "* *asociativní*, jestliže $\\forall a,b,c \\in A:\\,\\, (a\\circ b)\\circ c = a\\circ (b \\circ c)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "1c4f08f6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Algebraickou strukturu $(A,\\circ)$ s jednou binární operací nazveme *grupoid*.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "54346841",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Pokud je operace $\\circ$ v grupoidu $(A,\\circ)$ asociativní, nazveme $(A,\\circ)$ pologrupou.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "e5950d4b",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Pokud v grupoidu $(A,\\circ)$ existuje prvek $e\\in A$ takový, že \n",
    "\n",
    "$\\forall a\\in A: e\\circ a = a = a\\circ e$, \n",
    "\n",
    "pak se tento prvek nazývá *neutrálním prvkem*.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "64e05e2c",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "V každém grupoidu může existovat nejvýše jeden neutrální prvek.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "62b4fadb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Pologrupu ve které existuje neutrální prvek nazveme *monoid*.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "fc701fa3",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Pokud v monoidu $(A,\\circ)$ s neutrálním prvkem $e$ existuje ke každému prvků $a$ prvek $a^{*}$ takový, že \n",
    "\n",
    "$a\\circ a^{*}=e=a^{*}\\circ a$, \n",
    "\n",
    "pak $(A,\\circ)$ nazveme $a^*$ symetrickým prvkem k prvku $a$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "83b2c63e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Grupoid $(A,\\circ)$ nazveme *grupou*, jestliže je operace $\\circ$ asociativní, v grupoidu existuje neutrálním prvkem $e$ a ke každému prvku $a$ existuje symetrický prvek $a^{*}$,  tj.\n",
    "\n",
    "a) $\\forall a, b, c \\in A: (a\\circ b)\\circ c = a\\circ (b\\circ c),$\n",
    "\n",
    "b) $\\exists e\\in A \\;\\forall a \\in A: a\\circ e = a = e\\circ a,$\n",
    "\n",
    "c) $\\forall a\\in A \\; \\exists a^{*} \\in A: a\\circ a^{*} = e= a^{*}\\circ a$.\n",
    "\n",
    "Pokud je navíc grupa komutatitvní, nazývá se *Abelovská*\n",
    "\n",
    "```\n",
    "\n"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}