Domácí úkol 4 (16. 10. 2023)

Příklad 1

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{Q} , *)\), kde \(\forall a,b \in \mathbb{N}: a * b = ab-\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b+\frac{15}{4}\).

Zobrazit výsledek

Jedná se o komutativní monoid.

Příklad 2

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((M , \cdot)\), přičemž \(M\) je množina všech matic tvaru \(\left( \begin{array}{cc} x & 0\\y& 1\end{array} \right)\), kde \(x,y\in\mathbb{R}, x\neq0\) a operace \(\cdot\) je násobení matic.

Zobrazit výsledek

Jedná se o grupu.

Příklad 3

Určete, zda je daný grupoid pologrupou: \((\mathbb{R},*)\), kde \(\forall a,b \in \mathbb{R}: a* b = (a+2b)\cdot(2+a b)\).

Zobrazit výsledek

Nejedná se o pologrupu.

Příklad 4

Vyšetřete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{Z}, \oplus)\), kde \(\forall x,y \in \mathbb{Z}: x\oplus y = |x\cdot y |\)

Zobrazit výsledek

Jedná se o Abelovskou pologrupu.