{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Kapitola 4 - Izomorfismus grupoidů"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Teorie"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Zobrazení $f: A \\to B$ se nazývá\n",
    "\n",
    "a) *injektivní (prosté)*, jestliže platí\n",
    "\n",
    "$$\\forall a_1, a_2 \\in A, b\\in B; [(a_1, b)\\in f \\land (a_2 , b)\\in f] \\Rightarrow a_1=a_2;$$\n",
    "\n",
    "b) *surjektivní (zobrazení $A$ na $B$)*, jestliže platí\n",
    "\n",
    "$$\\forall b\\in B\\,\\, \\exists a\\in A; (a,b) \\in f;$$\n",
    "\n",
    "c) *bijektivní (vzájemně jednoznačné zobrazení $A$ na $B$)*, je-li současně injektivní i surjektivní.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Nechť $(G, \\circ)$ a $(H,*)$ jsou grupoidy. Pokud existuje bijekce $f: G \\to H$, pro kterou platí\n",
    "\n",
    "$$\\forall x,y \\in G: f(x\\circ y)=f(x)*f(y),$$\n",
    "\n",
    "řekneme, že $f$ je *izomorfní zobrazení (izomorfismus)* grupoidu $(G, \\circ)$ na grupoid $(H,*)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Pokud je $f$ izomorfní zobrazení grupoidu $(G,\\circ)$ na grupoid $(H, *)$, potom inverzní zobrazení $f^{-1}$ je izomorfním zobrazením grupoidu $(H, *)$ na grupoid $(G,\\circ)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Pokud existuje izomorfní zobrazení grupoidu $(G,\\circ)$ na grupoid $(H,*)$ tak říkáme, že grupoidy $(G,\\circ)$ a $(H,*)$ jsou *izomorfní*.\n",
    "```\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Nechť $f$ je izomorfismus grupoidu $(G,\\cdot)$ na grupoid $(K,\\triangle)$ a nechť $g$ je izomorfismus grupoidu $(K, \\triangle)$ na grupoid $(H, *)$. Potom složené zobrazení $g \\circ f$\n",
    " je izomorfismus grupoidu $(G,\\cdot)$ na grupoid $(H,*)\n",
    "$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Nechť $f$ je izomorfismus grupoidu $(G,\\circ)$ na grupoid $(H,*)$. Pak platí:\n",
    "\n",
    "a) pokud je perace $\\circ$ asociativní (komutativní), potom je i operace $*$ asociativní (komutativní),\n",
    "\n",
    "b) pokud $e$ je neutrální prvek grupoidu $(G, \\circ)$, potom $f(e)$ je neutrální prvek grupoidu $(H,*)$,\n",
    "\n",
    "c) pokud $a,a^*\\in G$ jsou vzájemně symetrické prvky grupoidu $(G, \\circ)$, potom $f(a)$ a $f(a^*)$ jsou vzájemně symetrické prvky v grupoidu $(H,*)$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:corollary}\n",
    "Nechť grupoid $(G, \\circ)$ je izomorfní s grupoidem $(H,*)$. Potom $(G, \\circ)$ je pologrupa (monoid, grupa) tehdy a jen tehdy, když $(H,*)$ je pologrupa (monoid, grupa).\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}