{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Domácí úkol 5 (23. 10. 2023)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(A,\\circ)$, kde $A=\\lbrace (a, b): a, b\\in \\mathbb{R}, a \\neq 0\\rbrace$ a $\\forall (a,b), (c,d)\\in A:$ $(a,b)\\circ(c,d)=(ac,bc+d) $.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Jedná se o grupu.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(M , +)$, přičemž $M$ je množina všech matic tvaru $\\left( \\begin{array}{cc} x & y\\\\2 y& x\\end{array} \\right)$, kde $x, y\\in\\mathbb{R}$ a operace $+$ je sčítání matic.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Jedná se o Abelovskou grupu.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "<font color='red'>Pozor: tento příklad je náročnější, takže se počítá za dva (tj. pokud si nahrazujete půl cvičení, můžete spočítat tento příklad nebo dva předchozí).</font>\n",
    "\n",
    "Vyšetřete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{Z}^3 , +)$, kde $\\forall (a,b, c), (d,e,f)\\in \\mathbb{Z}^3$ platí:\n",
    "\n",
    "$$(a, b, c)+ (d, e, f)= \\left \\lbrace \\begin{array}{cc} (a+d, b+e, c+f) & \\textrm{pro } c \\textrm{ sudé}\\\\(a+e, b+d, c+f) & \\textrm{pro } c \\textrm{ liché}\\end{array}\\right .$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Rada: je třeba vzít v potaz různé kombinace sudosti/lichosti posledního členu trojice.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Jedná se o grupu.\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.6"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}