{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Kapitola 5 - Cyklické grupy"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Teorie"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Grupu $(G,\\cdot)$ nazveme *cyklickou*, jestliže existuje takový prvek $a\\in G$, pro který platí $G=[a]$. Prvek $a$ nazveme generátor grupy $G$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "V grupě $(G,\\cdot)$ definujeme pro každé $n\\in\\mathbb{N}$ a pro každý prvek $a\\in G$ *grupovou mocninu* $a^n$ následovně:\n",
    "\n",
    "$$a^n=\\left \\lbrace  \\begin{array}{ll}\n",
    "         (a\\cdot a\\cdot \\ldots\\cdot a)_{n\\textrm{-krát}} & \\textrm{jestliže } n=k\\in\\mathbb{Z}^{{}+{}},\\\\\n",
    "        e & \\textrm{jestliže } n=0,\\\\\n",
    "        (a^{-1}\\cdot a^{-1}\\cdot \\ldots\\cdot a^{-1})_{n\\textrm{-krát}} & \\textrm{jestliže } n=-k\\in\\mathbb{Z}^{{}+{}}.\\end{array} \\right .$$\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Nechť $(G,\\cdot)$ je grupa, $a, b \\in G$ a nechť $m, n \\in \\mathbb{Z}$. Potom\n",
    "\n",
    "a) $a^{n+m}=a^n \\cdot a^m$,\n",
    "\n",
    "b) $(a^n)^m=a^{n\\cdot m}$,\n",
    "\n",
    "c) jestliže $a\\cdot b = b\\cdot a$, potom $(a\\cdot b)^n=a^n\\cdot b^n$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:remark}\n",
    "Pokud je grupa označovaná aditivně, tak míst značení $a^n$ často používáme označení $n\\times a$. Rovnosti z předchozí věty potom vypadají následovně:\n",
    "\n",
    "a) $(n+m)\\times a=(n\\times a)+(m\\times a)$,\n",
    "\n",
    "b) $m\\times (n\\times a)=(m\\cdot n)\\times a$,\n",
    "\n",
    "c) jestliže $a\\cdot b = b\\cdot a$, pak $n\\times(a\\cdot b)=(n\\times a)\\cdot(n\\times b)$.\n",
    "\n",
    "```       "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Grupa $G$ je cyklická tehdy a jen tehdy, když se skládá z mocnin některého ze svých prvků (generátoru).\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:definition}\n",
    "Nechť $(G,\\cdot)$ je libovolná grupa a nechť $a\\in G$. Pokud existuje nejmenší celé kladné číslo $k$ pro které platí $a^k=e$, říkáme, že *řád prvku $a$ je $k$* a píšeme $r(a)=k$. Pokud takové $k$ neexistuje, říkáme, že *řád prvku $a$ je nekonečno* a píšeme $r(a)=\\infty$ (někdy se také uvádí, že řád prvku $a$ je nula a píšeme $r(a)=0$). Řádem grupy $G$ nazýváme kardinální číslo jejího nosiče, $|G|$, tj. v konečném důsledku pod řádem grupy rozumíme počet prvků grupy. \n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Řád konečné cyklické grupy je roven řádu libovolného jejícho generátoru.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Nechť $(G,\\cdot)$ je cyklická grupa s generátorem $a$.\n",
    "\n",
    "a) Pokud má generátor $a$ konečný řád $n$, pak grupa $(G,\\cdot)$ je izomorvní s grupou $(Z_n, \\oplus)$.\n",
    "\n",
    "b) Pokud má generátor $a$ konečný řád $\\infty$, pak grupa $(G,\\cdot)$ je izomorvní s grupou $(Z, +)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{prf:theorem}\n",
    "Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
  "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.11.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}